300以下の自然数のうち、3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をB、5の倍数の集合をCとする。以下の値を求めよ。 ① $n(A)$ ② $n(B)$ ③ $n(C)$ ④ $n(A \cap B)$ ⑤ $n(B \cap C)$ ⑥ $n(C \cap A)$ ⑦ $n(A \cap B \cap C)$ ⑧ $n(A \cup B \cup C)$

1. 問題の内容

300以下の自然数のうち、3の倍数の集合をA、4の倍数の集合をB、5の倍数の集合をCとする。以下の値を求めよ。

① $n(A)$

② $n(B)$

③ $n(C)$

④ $n(A \cap B)$

⑤ $n(B \cap C)$

⑥ $n(C \cap A)$

⑦ $n(A \cap B \cap C)$

⑧ $n(A \cup B \cup C)$

2. 解き方の手順

① $n(A)$: 3の倍数の個数。300 ÷ 3 = 100 より、$n(A) = 100$

② $n(B)$: 4の倍数の個数。300 ÷ 4 = 75 より、$n(B) = 75$

③ $n(C)$: 5の倍数の個数。300 ÷ 5 = 60 より、$n(C) = 60$

④ $n(A \cap B)$: 3の倍数かつ4の倍数、つまり12の倍数の個数。300 ÷ 12 = 25 より、$n(A \cap B) = 25$

⑤ $n(B \cap C)$: 4の倍数かつ5の倍数、つまり20の倍数の個数。300 ÷ 20 = 15 より、$n(B \cap C) = 15$

⑥ $n(C \cap A)$: 5の倍数かつ3の倍数、つまり15の倍数の個数。300 ÷ 15 = 20 より、$n(C \cap A) = 20$

⑦ $n(A \cap B \cap C)$: 3の倍数かつ4の倍数かつ5の倍数、つまり60の倍数の個数。300 ÷ 60 = 5 より、$n(A \cap B \cap C) = 5$

⑧ $n(A \cup B \cup C)$: 包含と排除の原理より、

$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(B \cap C) - n(C \cap A) + n(A \cap B \cap C)$

$n(A \cup B \cup C) = 100 + 75 + 60 - 25 - 15 - 20 + 5 = 180$

3. 最終的な答え

① $n(A) = 100$

② $n(B) = 75$

③ $n(C) = 60$

④ $n(A \cap B) = 25$

⑤ $n(B \cap C) = 15$

⑥ $n(C \cap A) = 20$

⑦ $n(A \cap B \cap C) = 5$

⑧ $n(A \cup B \cup C) = 180$