三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 8$, $\angle A$は鋭角であり、面積が$10\sqrt{3}$である。 (1) $\angle A$と$BC$を求める。 (2) 三角形ABCの外接円上の点Bを含まない弧AC上に、$\angle CAD = 30^\circ$となるように点Dをとる。辺ACと線分BDの交点をEとする。このとき、$AD$と$AE$を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 5$, $AC = 8$, $\angle A$は鋭角であり、面積が$10\sqrt{3}$である。

(1) $\angle A$と$BC$を求める。

(2) 三角形ABCの外接円上の点Bを含まない弧AC上に、$\angle CAD = 30^\circ$となるように点Dをとる。辺ACと線分BDの交点をEとする。このとき、$AD$と$AE$を求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形の面積の公式より、

$\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = 10\sqrt{3}$

$\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin A = 10\sqrt{3}$

$20 \sin A = 10\sqrt{3}$

$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\angle A$は鋭角なので、$\angle A = 60^\circ$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ$

$BC^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$

$BC^2 = 89 - 40$

$BC^2 = 49$

$BC = 7$

(2)

円周角の定理より、$\angle CBD = \angle CAD = 30^\circ$

$\angle BAD = \angle BAC - \angle CAD = 60^\circ - 30^\circ = 30^\circ$

したがって、$\angle BAD = \angle CBD = 30^\circ$なので、AD//BCではない。

$\angle ADB = \angle ACB$ (円周角の定理)

$\triangle ABD$において、正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}$

$\frac{AD}{\sin \angle ABC}$ = 2R（Rは外接円の半径）

$\triangle ABC$において、正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin A} = 2R$

$\frac{7}{\sin 60^\circ} = 2R$

$2R = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}}$

$AD = 2R\cdot\sin \angle ABD = 2R\cdot\sin \angle ABC$

$\frac{AD}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)}$

$\angle ACB = \angle ADB$

$\angle ABC = \angle ABD$

$AD/AB= \sin \angle ABD /\sin \angle ADB$

$\angle ACB$が分からないので、正弦定理を使うのは難しい。

$\triangle ABDにおいて、 \angle BAD = 30^\circ$、

$\triangle ABEと \triangle DCEは相似であり、AE/EC = BE/ED。

$\triangle ABE \sim \triangle CDE$ (円周角の定理)

$\angle BAE = \angle CDE$, $\angle ABE = \angle DCE$

$\frac{AE}{CE} = \frac{BE}{DE}$

$\angle CAD=30^\circ$

$\triangle ABDで正弦定理により，$ \frac{AD}{sin∠ABD} = \frac{AB}{sin∠ADB}$

$\angle ACB=\angle ADB, AB=5$であるから，ADの値は∠ABDと∠ACBで決まる．\angle ACBと∠ABD}を求めるのは難しそう．

$\angle BAD = 30°，\angle CBD = 30°であるから，AB//CDである．

$\triangle ABD \sim \triangle ECB$だから、$AE/EC =BE/ED$.

$\angle CAD = 30^\circ, AD=CD$

$\angle ACB=\angle ADB$,

$\angle ABC+\angle ADC=180°$.

$\triangle ABD에서 ∠BAD=∠CBD=30°$.

三角形ABCの外接円の半径Rとすると、$2R=7/(\sqrt{3}/2)=14/\sqrt{3}$

$\angle ACB=θと置くと、余弦定理より、$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cos(θ),25=64+49-2\times8\times7\cos(θ)$

$25=113-112\cos(θ)より、\cos(θ)=88/112=11/14$

$sin(θ)=\sqrt{1-(11/14)^2}=5\sqrt{3}/14$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 60^\circ$, $BC = 7$

(2) まだ求められません。