$\theta$の動径が第4象限にあり、$\tan{\theta} = -2\sqrt{6}$のとき、$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\theta$の動径が第4象限にあり、$\tan{\theta} = -2\sqrt{6}$のとき、$\sin{\theta}$と$\cos{\theta}$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角関数の相互関係の公式

$1 + \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

を利用して、$\cos{\theta}$を求めます。

$1 + (-2\sqrt{6})^2 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$1 + 4 \times 6 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$1 + 24 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$25 = \frac{1}{\cos^2{\theta}}$

$\cos^2{\theta} = \frac{1}{25}$

$\cos{\theta} = \pm \frac{1}{5}$

$\theta$は第4象限にあるので、$\cos{\theta} > 0$となるため、

$\cos{\theta} = \frac{1}{5}$

次に、$\tan{\theta} = \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$を利用して、$\sin{\theta}$を求めます。

$\sin{\theta} = \tan{\theta} \cos{\theta}$

$\sin{\theta} = -2\sqrt{6} \times \frac{1}{5}$

$\sin{\theta} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

3. 最終的な答え

$\sin{\theta} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\cos{\theta} = \frac{1}{5}$