ベクトル $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$ と $\vec{b} = b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ が、与えられた成分表示を持つことを示す。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}$ と $\vec{b} = b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k}$ の外積 $\vec{a} \times \vec{b}$ が、与えられた成分表示を持つことを示す。

2. 解き方の手順

外積の定義に従って計算を行う。$\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ はそれぞれ $x, y, z$ 軸方向の単位ベクトルであり、以下の関係が成り立つ。

$\vec{i} \times \vec{i} = \vec{j} \times \vec{j} = \vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}$

$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$

$\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$

$\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

$\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$

$\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$

$\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$

$\vec{a} \times \vec{b} = (a_x \vec{i} + a_y \vec{j} + a_z \vec{k}) \times (b_x \vec{i} + b_y \vec{j} + b_z \vec{k})$

$= a_x b_x (\vec{i} \times \vec{i}) + a_x b_y (\vec{i} \times \vec{j}) + a_x b_z (\vec{i} \times \vec{k}) + a_y b_x (\vec{j} \times \vec{i}) + a_y b_y (\vec{j} \times \vec{j}) + a_y b_z (\vec{j} \times \vec{k}) + a_z b_x (\vec{k} \times \vec{i}) + a_z b_y (\vec{k} \times \vec{j}) + a_z b_z (\vec{k} \times \vec{k})$

$= a_x b_x (\vec{0}) + a_x b_y (\vec{k}) + a_x b_z (-\vec{j}) + a_y b_x (-\vec{k}) + a_y b_y (\vec{0}) + a_y b_z (\vec{i}) + a_z b_x (\vec{j}) + a_z b_y (-\vec{i}) + a_z b_z (\vec{0})$

$= (a_y b_z - a_z b_y) \vec{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \vec{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \vec{k}$

従って、

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix}$ が示された。