正八角形ABCDEFGHの面積を求める問題です。ただし、OA = $5\sqrt{2}$ であることが与えられています。 (1) $\triangle ABO$において、$\angle AOB$ の角度を求めます。 (2) $\triangle ABO$の面積を求めます。 (3) 正八角形ABCDEFGHの面積を求めます。

1. 問題の内容

正八角形ABCDEFGHの面積を求める問題です。ただし、OA = $5\sqrt{2}$ であることが与えられています。

(1) $\triangle ABO$において、$\angle AOB$ の角度を求めます。

(2) $\triangle ABO$の面積を求めます。

(3) 正八角形ABCDEFGHの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\angle AOB$ の角度を求める。

正八角形は中心角を8等分するので、$\angle AOB = \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$。

(2) $\triangle ABO$の面積を求める。

$\triangle ABO$ は、$OA = OB = 5\sqrt{2}$の二等辺三角形で、$\angle AOB = 45^\circ$です。

面積は、$\frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin{\angle AOB}$で求められます。

$\sin{45^\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、

$\triangle ABO$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2}) \cdot (5\sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2} \cdot 25 \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{25\sqrt{2}}{2}$

ここで$AB$の長さを求めることを考えます。余弦定理より

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2\cdot OA \cdot OB \cos 45^{\circ} = (5\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (5\sqrt{2})^2 \cos 45^{\circ}$

$= 50 + 50 - 2\cdot 50 \frac{\sqrt{2}}{2} = 100 - 50\sqrt{2}$

$AB = \sqrt{100-50\sqrt{2}} = 5\sqrt{4-2\sqrt{2}}$

$\triangle ABO$ の面積を求める別の方法として、

$Area = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin{\angle AOB} = \frac{1}{2} (5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{25\sqrt{2}}{1}$

$\frac{1}{2} \cdot OA \cdot h = \frac{25\sqrt{2}}{2}$

$h = \frac{25\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 5$

よって$\triangle ABO$ の面積は $\frac{25\sqrt{2}}{2}$

(3) 正八角形ABCDEFGHの面積を求める。

正八角形は、$\triangle ABO$ と同じ形の三角形が8つ集まってできています。

よって、正八角形の面積は、$\triangle ABO$ の面積の8倍です。

正八角形の面積 $= 8 \cdot \frac{25\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle AOB = 45^\circ$

(2) $\triangle ABO$ の面積は $\frac{25}{2} \sqrt{2}$

(3) 正八角形ABCDEFGHの面積は $100 \sqrt{2}$

$\triangle ABO$の面積は$\frac{25\sqrt{2}}{1}$

$\triangle ABO = \frac{25\sqrt{2}}{1}$とすると、正八角形の面積は$8\frac{25\sqrt{2}}{1} = 100\sqrt{2}$

(1) $\angle AOB = 45^\circ$

(2) $\triangle ABO = 25$

(3) 正八角形の面積 $= 200 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$

正八角形の面積

$8 \cdot 25 = 200$.

$\triangle ABO$の面積は$\frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2})^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{50\sqrt{2}}{4} = \frac{25\sqrt{2}}{2}$

正八角形は$8\triangle ABO$なので$8 \times \frac{25\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$

1. $\angle AOB = 45^\circ$

2. $\triangle ABO$ の面積 $= \frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin{45^\circ} = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{50}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 25\frac{\sqrt{2}}{2} $

3. 正八角形の面積 $= 8 \times \frac{25\sqrt{2}}{2} = 100\sqrt{2}$