三角形ABCにおいて、AB:AC = 2:3である。辺AB, BCの中点をそれぞれM, Nとし、角BACの二等分線が線分MN, 辺BCと交わる点をそれぞれP, Qとする。このとき、NQ/BQとPQ/APの値を求める問題。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB:AC = 2:3である。辺AB, BCの中点をそれぞれM, Nとし、角BACの二等分線が線分MN, 辺BCと交わる点をそれぞれP, Qとする。このとき、NQ/BQとPQ/APの値を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 太郎さんの解法

辺BCの長さを$a$とする。点Nは辺BCの中点であるから、

$BN = \frac{1}{2}a$ (ア)

また、線分AQは角BACの二等分線であるから、

$BQ = \frac{2}{2+3}a = \frac{2}{5}a$ (イ)

よって、

$NQ = BN - BQ = \frac{1}{2}a - \frac{2}{5}a = \frac{5-4}{10}a = \frac{1}{10}a$ (ウ)

となるので、

$\frac{NQ}{BQ} = \frac{\frac{1}{10}a}{\frac{2}{5}a} = \frac{1}{10} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1}{4}$ (エ)

(2) 花子さんの解法

点M, Nはそれぞれ辺AB, BCの中点であるから、中点連結定理を用いると、

$MN = \frac{1}{2}AC$ (オ, カ)

$MP = \frac{1}{2}AB$ (キ)

である。よって、

$\frac{PN}{PM} = \frac{\frac{1}{2}BC - BQ}{\frac{1}{2}AB} = \frac{\frac{1}{2}a - \frac{2}{5}a}{\frac{1}{2}AB} = \frac{\frac{1}{10}a}{\frac{1}{2}AB}$

$PN = BN - BP = \frac{a}{2} - BP$

ここで$MN || AC$なので、三角形BMPと三角形BCAは相似。

したがって、$\frac{BP}{BC} = \frac{BM}{BA} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}$なので、$BP = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a$

$PN = \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}BQ$.

$MN$と$AC$が平行なので、角MNP = 角ACPとなる。

角PAQ = 角QACより、角PAQ = 角MNPとなる。

APは角Aの二等分線とMNとの交点である。角Aの二等分線はBCをAB:AC=2:3に分割するので、BP:PC=2:3。したがって、BP=2/5*a。ゆえにPC=3/5*a。

MNはACの1/2であるから、MN=3/2。

三角形ABQと三角形MNQは相似。したがって、BQ/NQ=BA/NM。

$\frac{AP}{PQ} = \frac{AB+AC}{BC} = \frac{2+3}{a} = \frac{5}{a}$

$\frac{PQ}{AP} = \frac{1}{5}$　(ケ)

(3)　四角形BQPMの面積は、四角形APNCの面積の2/3倍である。

3. 最終的な答え

ア: 1/2

イ: 2/5

ウ: 1/10

エ: 1/4

オ: ②

カ: 1/2

キ: 1/2

ク: 1/5

ケ: 1/5

コ/サ: 2/3