$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。ただし、$AP:PD = s:(1-s)$、$BP:PC = t:(1-t)$ ($0 < s < 1$, $0 < t < 1$) とおく。空欄を埋める問題。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $OA$ を $3:1$ に内分する点を $C$、辺 $OB$ を $1:1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$ とするとき、$\overrightarrow{OP}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。ただし、$AP:PD = s:(1-s)$、$BP:PC = t:(1-t)$ ($0 < s < 1$, $0 < t < 1$) とおく。空欄を埋める問題。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{OC} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OA} = \frac{3}{4}\vec{a}$、$\overrightarrow{OD} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OB} = \frac{1}{2}\vec{b}$ である。

$\overrightarrow{OP}$ を線分 $AD$ の内分点として表すと、

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OD} = (1-s)\vec{a} + \frac{1}{2}s\vec{b}$

$\overrightarrow{OP}$ を線分 $BC$ の内分点として表すと、

$\overrightarrow{OP} = (1-t)\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC} = t(\frac{3}{4}\vec{a}) + (1-t)\vec{b} = \frac{3}{4}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$1-s = \frac{3}{4}t$

$\frac{1}{2}s = 1-t$

この連立方程式を解く。

$s = 2(1-t) = 2 - 2t$

$1-(2-2t) = \frac{3}{4}t$

$-1+2t = \frac{3}{4}t$

$\frac{5}{4}t = 1$

$t = \frac{4}{5}$

$s = 2 - 2(\frac{4}{5}) = 2 - \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$

したがって

$\overrightarrow{OP} = (1-\frac{2}{5})\vec{a} + \frac{1}{2}(\frac{2}{5})\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4}(\frac{4}{5})\vec{a} + (1-\frac{4}{5})\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

問題文中の式と照らし合わせて空欄を埋める。

$\overrightarrow{OP} = (1-s)\vec{a} + \frac{1}{2}s\vec{b}$

$= (1-\frac{2}{5})\vec{a} + \frac{1}{2}(\frac{2}{5})\vec{b}$

$= \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

なので、1の空欄は$\frac{1}{2}$、2の空欄は$\frac{2}{5}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{4}t\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$= \frac{3}{4}(\frac{4}{5})\vec{a} + (1-\frac{4}{5})\vec{b}$

$= \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b}$

なので、3の空欄は$\frac{3}{4}$、4の空欄は$(1-t)$

上式より

$t=\frac{4}{5}$、$s=\frac{2}{5}$

なので、5の空欄は4、6の空欄は5、7の空欄は2、8の空欄は5

よって、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b} = \frac{3}{5}\vec{a}+\frac{1}{5}\vec{b}$

なので、9の空欄は3、10の空欄は5、11の空欄は1、12の空欄は5

3. 最終的な答え

1: 1/2

2: 2/5

3: 3/4

4: 1-t

5: 4

6: 5

7: 2

8: 5

9: 3

10: 5

11: 1

12: 5