円に内接する四角形ABCDがあり、$\angle ABC = 20^\circ$、$\angle BCD = 110^\circ$である。線分ADとBFの交点をEとし、$\angle AEF = \theta$とする。$\theta$を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、$\angle ABC = 20^\circ$、$\angle BCD = 110^\circ$である。線分ADとBFの交点をEとし、$\angle AEF = \theta$とする。$\theta$を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質から、対角の和が180°になることを利用します。

したがって、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$です。

また、$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$です。

次に、弧BCに対する円周角は等しいので、$\angle BAC = \angle BDC$です。

四角形ABCDの内角の和は360°であることから、$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ$である。

$\angle CDA = 180^\circ - \angle CBA$より、$\angle CDA = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$となる。

$\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB$より、$\angle DAB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$となる。

三角形ABDにおいて、$\angle ABD = \angle ABC - \angle FBC = \angle ABC - \angle FAC = 20^\circ - \angle FAC$

$\angle BDA = \angle BCA$です。

弧BAに対する円周角は等しいので、$\angle BCA = \angle BDA$です。

したがって、四角形ABCDの内角の和を考えると、$360^\circ = \angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA$なので、

$360^\circ = 70^\circ + \angle ABC + 110^\circ + \angle CDA$

$\angle ABC + \angle CDA = 180^\circ$

$\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$

円周角の定理より、$\angle BAC = \angle BDC$である。

$\angle BAD = 70^\circ$なので、$\angle CAD = \angle BAD - \angle BAC = 70^\circ - \angle BAC$

$\angle ADC = 160^\circ$なので、$\angle ADB = \angle ADC - \angle BDC = 160^\circ - \angle BDC$

$\angle ADB = \angle ADC - \angle BAC = 160^\circ - \angle BAC$

円周角の定理より、$\angle FBC = \angle FAC$

$\angle AEF = \theta = \angle EAD + \angle ADF$

$\angle EAD = \angle CAD$

$\angle ADF = \angle ADB$

$\theta = \angle CAD + \angle ADB = (70^\circ - \angle BAC) + (160^\circ - \angle BAC)$

$\angle BAC + \angle BDC = 70^\circ - x + 160^\circ - x = 180^\circ - 110^\circ - 20^\circ = 50^\circ$

$\theta = \angle BAD + \angle BCD = 70^\circ$

$\theta = \angle BAC + \angle DBC$

$110^\circ$の円周角に対する弧の円周角は$\angle BAC$

$\angle BAC = 110^\circ * 0.5 = 55^\circ$

$\angle ABC = 20^\circ$の円周角に対する弧の円周角は$\angle ACB$

$\angle ACB = 20^\circ * 0.5 = 10^\circ$

三角形AFEにおいて

$\theta = 180^\circ - (\angle FAE + \angle AFE)$

$\angle FAE = 70^\circ$

$\angle AFE = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

弧ADに対する円周角は$\angle ABD = \angle ACD$

$\theta = 180^\circ - \angle EAF - \angle AFE$

$\theta = 180^\circ - \angle FAC - \angle CFD = 180^\circ - \angle FBC - \angle DBC = 180^\circ - \angle FBC - (\angle DCB - \angle DCA)$

四角形ABCDにおいて、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$

$\angle BAD = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

$\angle CFD = \angle CAD$であるから、$\angle AFE = \angle CAD$

$\angle ACD = \angle ABD$

$\theta = \angle AEF = \angle CAD + \angle AFE = 90^\circ$

3. 最終的な答え

90°