三角形において、与えられた線分の長さの比を用いて、線分CFとFAの比 $CF:FA$ を求める問題です。

1. 問題の内容

三角形において、与えられた線分の長さの比を用いて、線分CFとFAの比 $CF:FA$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた図と情報から、チェバの定理を利用して解きます。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各辺AB, BC, CA上に点D, E, Fがあるとき、3直線AD, BE, CFが1点で交わるならば、

$$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BE}{EC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

が成り立つという定理です。

図に示された長さの比から、

$BD/DA = 1/3$,

$AE/EC = 1/4$.

チェバの定理より、

$$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AE}{EC} \cdot \frac{CF}{FB} = 1$$

$$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$$

$$\frac{CF}{FA} = 3 \cdot 4 = 12$$

したがって、$CF/FA = 12/1$

3. 最終的な答え

$CF:FA = 12:1$