中心角が $120^\circ$、半径が $10\,\text{cm}$ の扇形OABがある。弧AB上の任意の点PからOA, OBに垂線PM, PNを下ろしたとき、線分MNの長さを求めよ。

1. 問題の内容

中心角が $120^\circ$、半径が $10\,\text{cm}$ の扇形OABがある。弧AB上の任意の点PからOA, OBに垂線PM, PNを下ろしたとき、線分MNの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

扇形の中心をO、半径をrとする。弧AB上の任意の点PからOA, OBにそれぞれ垂線PM, PNを下ろす。四角形OMPNは、$\angle M = \angle N = 90^\circ$ より、円に内接する。

OPを直径とする円を考えると、MとNはこの円周上にある。

$\angle AOB = 120^\circ$ より、$\angle MPN = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$である。

$\triangle MPN$において、正弦定理より、

$$\frac{MN}{\sin \angle MPN} = 2R$$

ここで、Rは$\triangle MPN$の外接円の半径である。この外接円の中心はOPの中点である。

また、OPの長さは扇形の半径rに等しいので、$OP = r = 10\,\text{cm}$。

したがって、外接円の半径は $R = \frac{OP}{2} = \frac{r}{2} = 5\,\text{cm}$である。

よって、

$$MN = 2R \sin \angle MPN = 2 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

3. 最終的な答え

$5\sqrt{3}\,\text{cm}$