座標空間内の4点 $O(0, 0, 0)$, $A(2, 0, 3)$, $B(2, 2, 3)$, $C(0, 2, 3)$を頂点とする四面体$OABC$があり、辺$AB$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とする。 $|OM| = |ON| = \sqrt{ア}$, $OM \cdot ON = イ$であるから、三角形$OMN$の面積は$\frac{\sqrt{ウ}}{エ}$である。点$P(3,3,0)$から平面$OMN$に下ろした垂線と平面$OMN$の交点を$H$とし、$s,t$を実数として$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}$と表す。このとき、$\overrightarrow{PH}\cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH}\cdot \overrightarrow{ON} = オ$であるから$s = \frac{カ}{キ}$, $t = \frac{ク}{ケ}$である。したがって、点$H$の座標は($コ$, $サ$, $シ$)であり、三角形$HMN$の面積は三角形$OMN$の面積の$\frac{ス}{セ}$倍である。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

座標空間内の4点 $O(0, 0, 0)$, $A(2, 0, 3)$, $B(2, 2, 3)$, $C(0, 2, 3)$を頂点とする四面体$OABC$があり、辺$AB$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とする。

$|OM| = |ON| = \sqrt{ア}$, $OM \cdot ON = イ$であるから、三角形$OMN$の面積は$\frac{\sqrt{ウ}}{エ}$である。点$P(3,3,0)$から平面$OMN$に下ろした垂線と平面$OMN$の交点を$H$とし、$s,t$を実数として$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}$と表す。このとき、$\overrightarrow{PH}\cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH}\cdot \overrightarrow{ON} = オ$であるから$s = \frac{カ}{キ}$, $t = \frac{ク}{ケ}$である。したがって、点$H$の座標は($コ$, $サ$, $シ$)であり、三角形$HMN$の面積は三角形$OMN$の面積の$\frac{ス}{セ}$倍である。

2. 解き方の手順

まず、$M$, $N$の座標を求める。

$M$は線分$AB$の中点なので、$M = (\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2, 1, 3)$.

$N$は線分$BC$の中点なので、$N = (\frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{3+3}{2}) = (1, 2, 3)$.

よって、$\overrightarrow{OM} = (2, 1, 3)$, $\overrightarrow{ON} = (1, 2, 3)$.

$|OM| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.

$|ON| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.

$OM \cdot ON = (2)(1) + (1)(2) + (3)(3) = 2+2+9 = 13$.

$\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{ON} = (1\cdot3 - 3\cdot2, 3\cdot1 - 2\cdot3, 2\cdot2 - 1\cdot1) = (3-6, 3-6, 4-1) = (-3, -3, 3)$.

三角形$OMN$の面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OM} \times \overrightarrow{ON}| = \frac{1}{2}\sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \frac{1}{2}\sqrt{9+9+9} = \frac{1}{2}\sqrt{27} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

次に、$\overrightarrow{PH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OP} = (s\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}) - (3, 3, 0) = (2s+t-3, s+2t-3, 3s+3t)$.

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = (2s+t-3)(2) + (s+2t-3)(1) + (3s+3t)(3) = 4s+2t-6+s+2t-3+9s+9t = 14s+13t-9$.

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON} = (2s+t-3)(1) + (s+2t-3)(2) + (3s+3t)(3) = 2s+t-3+2s+4t-6+9s+9t = 13s+14t-9$.

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON} = 0$より、$14s+13t-9 = 0$ かつ $13s+14t-9 = 0$.

$14s+13t = 9$ かつ $13s+14t = 9$.

辺々引くと、$s-t = 0$より$s=t$.

$14s+13s = 27s = 9$より、$s = t = \frac{9}{27} = \frac{1}{3}$.

したがって、$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OM} + \frac{1}{3}\overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}(2, 1, 3) + \frac{1}{3}(1, 2, 3) = (\frac{2+1}{3}, \frac{1+2}{3}, \frac{3+3}{3}) = (1, 1, 2)$.

よって、$H = (1, 1, 2)$.

$\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OH} = (2, 1, 3) - (1, 1, 2) = (1, 0, 1)$.

$\overrightarrow{HN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OH} = (1, 2, 3) - (1, 1, 2) = (0, 1, 1)$.

$\overrightarrow{HM} \times \overrightarrow{HN} = (0\cdot1 - 1\cdot1, 1\cdot0 - 1\cdot1, 1\cdot1 - 0\cdot0) = (-1, -1, 1)$.

三角形$HMN$の面積は、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{HM} \times \overrightarrow{HN}| = \frac{1}{2}\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \frac{1}{2}\sqrt{1+1+1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

三角形$HMN$の面積は三角形$OMN$の面積の$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{3}$倍である。

3. 最終的な答え

$|OM| = |ON| = \sqrt{14}$.

$OM \cdot ON = 13$.

三角形$OMN$の面積は$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON} = 0$.

$s = \frac{1}{3}$.

$t = \frac{1}{3}$.

$H = (1, 1, 2)$.

三角形$HMN$の面積は三角形$OMN$の面積の$\frac{1}{3}$倍である。