座標平面上に2点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ と $Q(\cos5\theta, \sin5\theta)$ があり、原点を $O$ とする。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{5}$ である。三角形 $OPQ$ の面積 $S$ を求め、面積 $S$ が最大となる $\theta$ の値と、そのときの最大値を求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点 $P(\cos\theta, \sin\theta)$ と $Q(\cos5\theta, \sin5\theta)$ があり、原点を $O$ とする。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{5}$ である。三角形 $OPQ$ の面積 $S$ を求め、面積 $S$ が最大となる $\theta$ の値と、そのときの最大値を求める。

2. 解き方の手順

三角形 $OPQ$ の面積 $S$ は、座標を用いて次のように表せる。

$S = \frac{1}{2} | \cos\theta \sin5\theta - \sin\theta \cos5\theta |$

三角関数の加法定理より、$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ であるから、

$S = \frac{1}{2} | \sin(5\theta - \theta) |$

$S = \frac{1}{2} | \sin(4\theta) |$

$0 < \theta < \frac{\pi}{5}$ より、$0 < 4\theta < \frac{4\pi}{5}$ であるから、$\sin(4\theta) > 0$。したがって、

$S = \frac{1}{2} \sin(4\theta)$

面積 $S$ が最大となるのは $\sin(4\theta) = 1$ のときである。つまり、$4\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき、$S$ は最大となる。

$\theta = \frac{\pi}{8}$

$0 < \theta < \frac{\pi}{5}$を満たすので、この$\theta$の値は適切である。

したがって、$\theta = \frac{\pi}{8}$ のとき、面積 $S$ は最大値をとる。

その最大値は、

$S_{max} = \frac{1}{2} \sin(4 \times \frac{\pi}{8}) = \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1}{2}\sin(4\theta)$

$S$ が最大となるのは $\theta = \frac{\pi}{8}$ のときで、最大値は $\frac{1}{2}$ である。