関数 $y=x^2$ のグラフと直線 $y=-x+6$ の交点が A, B, 関数 $y=x^2$ のグラフと直線 $y=-x+12$ の交点が C, D であるとき、台形 ABCD の面積を求め、点 A を通り台形 ABCD の面積を2等分する直線の式を求める。

1. 問題の内容

関数 $y=x^2$ のグラフと直線 $y=-x+6$ の交点が A, B, 関数 $y=x^2$ のグラフと直線 $y=-x+12$ の交点が C, D であるとき、台形 ABCD の面積を求め、点 A を通り台形 ABCD の面積を2等分する直線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 台形 ABCD の面積を求める。

- 点 A, B, C, D の座標を求める。

- 点 A, B は $y = x^2$ と $y = -x + 6$ の交点なので、$x^2 = -x + 6$ を解く。

$x^2 + x - 6 = 0$

$(x + 3)(x - 2) = 0$

$x = -3, 2$

点 A の x 座標は -3, 点 B の x 座標は 2。

点 A の y 座標は $(-3)^2 = 9$, 点 B の y 座標は $2^2 = 4$。

よって A(-3, 9), B(2, 4)。

- 点 C, D は $y = x^2$ と $y = -x + 12$ の交点なので、$x^2 = -x + 12$ を解く。

$x^2 + x - 12 = 0$

$(x + 4)(x - 3) = 0$

$x = -4, 3$

点 D の x 座標は -4, 点 C の x 座標は 3。

点 D の y 座標は $(-4)^2 = 16$, 点 C の y 座標は $3^2 = 9$。

よって D(-4, 16), C(3, 9)。

- 台形 ABCD の面積を計算する。

- 上底 AD の長さは、A(-3, 9) と D(-4, 16) を通る直線の傾きは $\frac{16-9}{-4-(-3)} = \frac{7}{-1} = -7$。

　　　 ADの長さは $\sqrt{(-4-(-3))^2+(16-9)^2} = \sqrt{1+49}=\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。

- 下底 BC の長さは、B(2, 4) と C(3, 9) を通る直線の傾きは $\frac{9-4}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$。

BCの長さは $\sqrt{(3-2)^2+(9-4)^2} = \sqrt{1+25}=\sqrt{26}$。

- 高さは、ADとBCの距離を求める。

　　-台形ABCDの面積は，(AD + BC) × 高さ × 1/2

　　　AD // BCではないため、等脚台形ではない。

　　-台形を二つの三角形に分けて計算したほうが簡単である。

三角形ADCの面積を計算すると、

$S_{ADC} = \frac{1}{2} | (-3(16-9) -4(9-9) + 3(9-16) | = \frac{1}{2} | -21 -0 - 21 | = \frac{1}{2} |-42| = 21$

三角形ABCの面積を計算すると、

$S_{ABC} = \frac{1}{2} | (-3(4-9) + 2(9-9) + 3(9-4) | = \frac{1}{2} | 15 +0 + 15 | = \frac{1}{2} |30| = 15$

台形ABCDの面積は，$S_{ABCD} = S_{ADC}+S_{ABC} = 21+15=36$

(2) 点 A を通り台形 ABCD の面積を2等分する直線の式を求める。

- 台形 ABCD の面積は 36 なので、この直線は面積 18 の図形を作る。

- この直線が辺 BC と交わる点を E(x, y) とすると、三角形 ABE の面積は 18。

- $AE = \sqrt{(x+3)^2+(y-9)^2}$

- BE と AE が垂直ではないため、計算が複雑になる。

- $S = 36/2 = 18$

- 中点を通る直線で分割することを考える。

- BCの中点をMとすると、$M(\frac{2+3}{2},\frac{4+9}{2}) = (\frac{5}{2},\frac{13}{2})$

- A(-3,9)とM($\frac{5}{2},\frac{13}{2}$)を結ぶ直線の傾きは$\frac{\frac{13}{2}-9}{\frac{5}{2}+3} = \frac{\frac{13-18}{2}}{\frac{5+6}{2}} = \frac{-5}{11}$

- $y-9 = -\frac{5}{11}(x+3)$

- $y = -\frac{5}{11}x-\frac{15}{11}+9$

- $y = -\frac{5}{11}x + \frac{-15+99}{11} = -\frac{5}{11}x + \frac{84}{11}$

　　$y = -\frac{5}{11}x+\frac{84}{11}$

3. 最終的な答え

(1) 台形 ABCD の面積: 36

(2) 点 A を通り台形 ABCD の面積を2等分する直線の式: $y = -\frac{5}{11}x+\frac{84}{11}$