関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、A, Bの $x$ 座標はそれぞれ -4, 2である。 (1) 直線ABの式を求める。 (2) 三角形AOBの面積を求める。ただし、座標軸の1めもりを1cmとする。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上に2点A, Bがあり、A, Bの $x$ 座標はそれぞれ -4, 2である。

(1) 直線ABの式を求める。

(2) 三角形AOBの面積を求める。ただし、座標軸の1めもりを1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点A, Bの座標を求める。

Aの $x$ 座標は -4なので、$y = \frac{1}{2}(-4)^2 = \frac{1}{2}(16) = 8$ より、A(-4, 8)。

Bの $x$ 座標は 2なので、$y = \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{1}{2}(4) = 2$ より、B(2, 2)。

直線ABの式を $y = ax + b$ とおく。

A(-4, 8), B(2, 2) を代入する。

$8 = -4a + b$

$2 = 2a + b$

上の式から下の式を引くと、

$6 = -6a$

$a = -1$

$2 = 2(-1) + b$

$2 = -2 + b$

$b = 4$

よって、直線ABの式は $y = -x + 4$。

(2) 三角形AOBの面積を求める。

直線ABの式は $y = -x + 4$なので、この直線と $y$ 軸との交点をCとすると、C(0, 4)。

三角形AOBの面積は、三角形AOCの面積と三角形BOCの面積の和で求められる。

三角形AOCの面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times (Aのx座標の絶対値) = \frac{1}{2} \times 4 \times |-4| = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

三角形BOCの面積は、$\frac{1}{2} \times OC \times (Bのx座標の絶対値) = \frac{1}{2} \times 4 \times |2| = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

よって、三角形AOBの面積は、8 + 4 = 12。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 4$

(2) 12 $cm^2$