一辺が8cmの正方形ABCDがある。点Pは辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBまで動き、点Qは辺AD, DC上を毎秒2cmの速さでAからCまで動く。2点P, Qが同時に出発してからx秒後の△APQの面積をy cm²とする。次のそれぞれの場合について、yをxの式で表し、xの変域を求める。 (1) 点Qが辺AD上を動くとき (2) 点Qが辺DC上を動くとき

1. 問題の内容

一辺が8cmの正方形ABCDがある。点Pは辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBまで動き、点Qは辺AD, DC上を毎秒2cmの速さでAからCまで動く。2点P, Qが同時に出発してからx秒後の△APQの面積をy cm²とする。次のそれぞれの場合について、yをxの式で表し、xの変域を求める。

(1) 点Qが辺AD上を動くとき

(2) 点Qが辺DC上を動くとき

2. 解き方の手順

(1) 点Qが辺AD上を動くとき

APの長さは $x$ cmであり、AQの長さは$2x$ cmである。

△APQの面積yは、底辺AP、高さAQの三角形の面積なので、

$y = \frac{1}{2} \times x \times 2x = x^2$

点Qが辺AD上を動くのは、$0 \leq 2x \leq 8$のときなので、$0 \leq x \leq 4$

(2) 点Qが辺DC上を動くとき

点Qが辺DC上にあるとき、点QはAを出発してから4秒後にDに到着し、その後DC上を移動する。

DCの長さは8 cmなので、DからCまで移動するにはさらに4秒かかる。

したがって、$4 \leq x \leq 8$

このとき、APの長さは$x$ cmで変わらない。

一方、ADの長さは8cmなので、点QはDからCの方向に$2x - 8$ (cm)移動している。

点Qから辺ABに垂線を下ろし、その交点をEとすると、AE = AD = 8 cm。

したがって、△APQの高さはDQ = $8 - (2x - 8) = 16 - 2x$ (cm)。

△APQの面積yは、$y = \frac{1}{2} \times x \times (16 - 2x) = 8x - x^2$

3. 最終的な答え

(1) 点Qが辺AD上を動くとき

$y = x^2$

xの変域: $0 \leq x \leq 4$

(2) 点Qが辺DC上を動くとき

$y = 8x - x^2$

xの変域: $4 \leq x \leq 8$