半径10と5の2つの円O, O'が点Pで外接しており、A, Bは共通接線l, mの接点である。 (1) 線分ABの長さを求めよ。 (2) 線分CDの長さを求めよ。(図にはCDは描かれていない)

1. 問題の内容

半径10と5の2つの円O, O'が点Pで外接しており、A, Bは共通接線l, mの接点である。

(1) 線分ABの長さを求めよ。

(2) 線分CDの長さを求めよ。(図にはCDは描かれていない)

2. 解き方の手順

(1) ABの長さを求める。

円Oの中心をO、円O'の中心をO'とする。

Oから直線O'Bに垂線を下ろし、その交点をHとする。

すると、三角形OHO'は直角三角形になる。

OO' = 10 + 5 = 15

O'H = 10 - 5 = 5

三平方の定理より、

$OH^2 + O'H^2 = OO'^2$

$OH^2 + 5^2 = 15^2$

$OH^2 + 25 = 225$

$OH^2 = 200$

$OH = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

AB = OHなので、AB = $10\sqrt{2}$

(2) CDの長さを求める。

図の中にC, Dがどこにあるのかが不明であるため、解きようがない。C, Dの位置が明確になれば、(1)と同様の手順で解ける可能性がある。例えば、C, Dがそれぞれ円O, O'上の点で、かつCDが共通接線n上の点であるならば、同様の手順で求められる。ここではCDが共通接線n上の点であるとして解く。

円Oの中心をO、円O'の中心をO'とする。

円Oの半径をr1, 円O'の半径をr2とする。r1=10, r2=5

OO' = r1+r2 = 15

CDの長さは、$\sqrt{(r_1+r_2)^2-(r_1-r_2)^2}$で求められる。

CD = $\sqrt{(10+5)^2-(10-5)^2} = \sqrt{15^2-5^2} = \sqrt{225-25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) ABの長さ: $10\sqrt{2}$

(2) CDの長さ: (C, Dの位置が不明確なため、共通接線n上の点であると仮定した場合) $10\sqrt{2}$