半径3cmの球と、その球がちょうど入る円柱、円柱にちょうど入る円錐がある。 (1) 球、円柱、円錐の体積の比を求めよ。 (2) 球と円柱の表面積の比を求めよ。

1. 問題の内容

半径3cmの球と、その球がちょうど入る円柱、円柱にちょうど入る円錐がある。

(1) 球、円柱、円錐の体積の比を求めよ。

(2) 球と円柱の表面積の比を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 体積の比

球の半径を $r$ とすると、$r = 3$ cm。

球の体積 $V_{球}$ は、

$V_{球} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi$

円柱の底面の半径は球の半径と等しく $r=3$ cm。

円柱の高さは球の直径と等しいので $2r = 6$ cm。

円柱の体積 $V_{円柱}$ は、

$V_{円柱} = \pi r^2 (2r) = \pi (3)^2 (6) = 54\pi$

円錐の底面の半径は球の半径と等しく $r=3$ cm。

円錐の高さは球の直径と等しいので $2r = 6$ cm。

円錐の体積 $V_{円錐}$ は、

$V_{円錐} = \frac{1}{3} \pi r^2 (2r) = \frac{1}{3} \pi (3)^2 (6) = 18\pi$

体積の比は、

$V_{球} : V_{円柱} : V_{円錐} = 36\pi : 54\pi : 18\pi = 36 : 54 : 18 = 2 : 3 : 1$

(2) 表面積の比

球の表面積 $S_{球}$ は、

$S_{球} = 4\pi r^2 = 4\pi (3)^2 = 36\pi$

円柱の表面積 $S_{円柱}$ は、

$S_{円柱} = 2\pi r^2 + 2\pi r (2r) = 2\pi (3)^2 + 2\pi (3)(6) = 18\pi + 36\pi = 54\pi$

表面積の比は、

$S_{球} : S_{円柱} = 36\pi : 54\pi = 36 : 54 = 2 : 3$

3. 最終的な答え

(1) 球:円柱:円錐 = 2:3:1

(2) 球:円柱 = 2:3