半径 $r$ m の円形の公園の周囲に、幅 $a$ m の道がある。道の面積を $S$ m$^2$, 道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ となることを証明する。空欄 A, B, C, D を埋める問題。

1. 問題の内容

半径 $r$ m の円形の公園の周囲に、幅 $a$ m の道がある。道の面積を $S$ m$^2$, 道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ m とするとき、$S = al$ となることを証明する。空欄 A, B, C, D を埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を求める。

外側の円の半径は $r+a$ なので、面積は $\pi(r+a)^2$。

内側の円の半径は $r$ なので、面積は $\pi r^2$。

道の面積 $S$ は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものなので、

$S = \pi(r+a)^2 - \pi r^2$

$= \pi (r^2 + 2ra + a^2) - \pi r^2$

$= \pi r^2 + 2\pi ra + \pi a^2 - \pi r^2$

$= 2\pi ra + \pi a^2$

$= \pi a (2r + a)$

次に、道の真ん中を通る円の半径を求める。

道の幅が $a$ なので、道の真ん中を通る円の半径は $r + \frac{a}{2}$ m。

次に、道の真ん中を通る円の周の長さを求める。

周の長さ $l$ は、半径が $r + \frac{a}{2}$ の円の円周なので、

$l = 2\pi(r + \frac{a}{2})$

$= 2\pi r + \pi a$

次に、$al$ を求める。

$al = a(2\pi r + \pi a)$

$= 2\pi ra + \pi a^2$

最後に、求めた $S$ と $al$ を比較する。

$S = 2\pi ra + \pi a^2$

$al = 2\pi ra + \pi a^2$

よって、$S = al$ が成り立つ。

空欄を埋める。

A: $2\pi ra + \pi a^2$

B: $r + \frac{a}{2}$

C: $2\pi r + \pi a$

D: $2\pi ra + \pi a^2$

3. 最終的な答え

A: $2\pi ra + \pi a^2$

B: $r + \frac{a}{2}$

C: $2\pi r + \pi a$

D: $2\pi ra + \pi a^2$