(1) 直線 $2x - y + 3 = 0$ に関して、直線 $3x + y + 2 = 0$ と対称な直線の方程式を求めよ。 (2) 2直線 $2x + y + 1 = 0$ と $x + 2y - 3 = 0$ のなす角の二等分線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $2x - y + 3 = 0$ に関して、直線 $3x + y + 2 = 0$ と対称な直線の方程式を求めよ。

(2) 2直線 $2x + y + 1 = 0$ と $x + 2y - 3 = 0$ のなす角の二等分線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

直線 $2x - y + 3 = 0$ を $l_1$、直線 $3x + y + 2 = 0$ を $l_2$、求める直線を $l_3$ とする。

$l_2$ 上の任意の点 $(x_0, y_0)$ をとる。この点が $l_1$ に関して対称な点を $(x, y)$ とする。

$(x_0, y_0)$ は $3x + y + 2 = 0$ を満たす。

線分の中点が $l_1$ 上にあるので、

$2(\frac{x+x_0}{2}) - (\frac{y+y_0}{2}) + 3 = 0$

$2(x+x_0) - (y+y_0) + 6 = 0$

$2x + 2x_0 - y - y_0 + 6 = 0$

また、線分が $l_1$ と直交するので、

$\frac{y-y_0}{x-x_0} = -\frac{1}{2}$

$2(y-y_0) = -x + x_0$

$x + 2y = x_0 + 2y_0$

$x_0 = x + 2y - 2y_0$

$2x + 2(x + 2y - 2y_0) - y - y_0 + 6 = 0$

$4x + 3y - 5y_0 + 6 = 0$

$5y_0 = 4x + 3y + 6$

$y_0 = \frac{4x + 3y + 6}{5}$

$x_0 = x + 2y - 2(\frac{4x+3y+6}{5})$

$x_0 = x + 2y - \frac{8x+6y+12}{5}$

$x_0 = \frac{-3x + 4y - 12}{5}$

$(x_0, y_0)$ は $3x_0 + y_0 + 2 = 0$ を満たすので、

$3(\frac{-3x + 4y - 12}{5}) + \frac{4x + 3y + 6}{5} + 2 = 0$

$-9x + 12y - 36 + 4x + 3y + 6 + 10 = 0$

$-5x + 15y - 20 = 0$

$x - 3y + 4 = 0$

(2)

2直線のなす角の二等分線は、2直線からの距離が等しい点の軌跡である。

直線 $2x + y + 1 = 0$ からの距離を $d_1$、直線 $x + 2y - 3 = 0$ からの距離を $d_2$ とすると、

$d_1 = \frac{|2x + y + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|2x + y + 1|}{\sqrt{5}}$

$d_2 = \frac{|x + 2y - 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|x + 2y - 3|}{\sqrt{5}}$

$d_1 = d_2$ より、

$\frac{|2x + y + 1|}{\sqrt{5}} = \frac{|x + 2y - 3|}{\sqrt{5}}$

$|2x + y + 1| = |x + 2y - 3|$

$2x + y + 1 = x + 2y - 3$ または $2x + y + 1 = -(x + 2y - 3)$

$x - y + 4 = 0$ または $3x + 3y - 2 = 0$

$x - y + 4 = 0$ または $3x + 3y - 2 = 0$

$x - y + 4 = 0$ または $x + y - \frac{2}{3} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 対称な直線の方程式: $x - 3y + 4 = 0$

(2) なす角の二等分線の方程式: $x - y + 4 = 0$ または $x + y - \frac{2}{3} = 0$