以下の4つの直線の方程式を求める問題です。 (1) $y = 2x + 6$とx軸で交わり、点$(3, -3)$を通る直線。 (2) $y = -4x + 2$とy軸で交わり、傾きが-3の直線。 (3) 2直線$3x - y + 6 = 0$、$2x - 3y = 3$の交点を通り、傾きが-1の直線。 (4) 2直線$y = \frac{1}{2}x - 4$、$x - 4y - 10 = 0$の交点と、点$(4, 3)$を通る直線。

## 問題の回答

1. 問題の内容

以下の4つの直線の方程式を求める問題です。

(1) $y = 2x + 6$とx軸で交わり、点$(3, -3)$を通る直線。

(2) $y = -4x + 2$とy軸で交わり、傾きが-3の直線。

(3) 2直線$3x - y + 6 = 0$、$2x - 3y = 3$の交点を通り、傾きが-1の直線。

(4) 2直線$y = \frac{1}{2}x - 4$、$x - 4y - 10 = 0$の交点と、点$(4, 3)$を通る直線。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x + 6$とx軸との交点を求める。x軸上の点は$y = 0$なので、

$0 = 2x + 6$

$2x = -6$

$x = -3$

よって、交点は$(-3, 0)$。この点と$(3, -3)$を通る直線を求める。

傾きを$m$とすると、

$m = \frac{-3 - 0}{3 - (-3)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$

求める直線の方程式は、$y = -\frac{1}{2}x + b$と表せる。

点$(3, -3)$を通るので、代入すると、

$-3 = -\frac{1}{2}(3) + b$

$-3 = -\frac{3}{2} + b$

$b = -3 + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$

したがって、求める直線の方程式は、

$y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

(2) $y = -4x + 2$とy軸との交点を求める。y軸上の点は$x = 0$なので、

$y = -4(0) + 2 = 2$

よって、交点は$(0, 2)$。傾きが-3で点$(0, 2)$を通る直線を求める。

$y = -3x + b$

点$(0, 2)$を通るので、代入すると、

$2 = -3(0) + b$

$b = 2$

したがって、求める直線の方程式は、

$y = -3x + 2$

(3) 2直線$3x - y + 6 = 0$、$2x - 3y = 3$の交点を求める。

$y = 3x + 6$を$2x - 3y = 3$に代入すると、

$2x - 3(3x + 6) = 3$

$2x - 9x - 18 = 3$

$-7x = 21$

$x = -3$

$y = 3(-3) + 6 = -9 + 6 = -3$

よって、交点は$(-3, -3)$。この点を通る傾きが-1の直線を求める。

$y = -1x + b$

点$(-3, -3)$を通るので、代入すると、

$-3 = -1(-3) + b$

$-3 = 3 + b$

$b = -6$

したがって、求める直線の方程式は、

$y = -x - 6$

(4) 2直線$y = \frac{1}{2}x - 4$、$x - 4y - 10 = 0$の交点を求める。

$y = \frac{1}{2}x - 4$を$x - 4y - 10 = 0$に代入すると、

$x - 4(\frac{1}{2}x - 4) - 10 = 0$

$x - 2x + 16 - 10 = 0$

$-x + 6 = 0$

$x = 6$

$y = \frac{1}{2}(6) - 4 = 3 - 4 = -1$

よって、交点は$(6, -1)$。この点と点$(4, 3)$を通る直線を求める。

傾きを$m$とすると、

$m = \frac{3 - (-1)}{4 - 6} = \frac{4}{-2} = -2$

求める直線の方程式は、$y = -2x + b$と表せる。

点$(4, 3)$を通るので、代入すると、

$3 = -2(4) + b$

$3 = -8 + b$

$b = 11$

したがって、求める直線の方程式は、

$y = -2x + 11$

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

(2) $y = -3x + 2$

(3) $y = -x - 6$

(4) $y = -2x + 11$