三角形OABにおいて、$OA=3$, $OB=1$, $\angle AOB=120^\circ$である。線分OAを1:4に内分する点をC, 線分OBを3:2に内分する点をDとする。線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をEとする。$\vec{CD}$、$\vec{CE}$、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$、$\vec{CD} \cdot \vec{CE}$、tの値、$\vec{OF}$を求める。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、$OA=3$, $OB=1$, $\angle AOB=120^\circ$である。線分OAを1:4に内分する点をC, 線分OBを3:2に内分する点をDとする。線分ABを$t:(1-t)$に内分する点をEとする。$\vec{CD}$、$\vec{CE}$、$\vec{OA} \cdot \vec{OB}$、$\vec{CD} \cdot \vec{CE}$、tの値、$\vec{OF}$を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{CD}$を求める。

$\vec{OC} = \frac{1}{5}\vec{OA}$、$\vec{OD} = \frac{3}{5}\vec{OB}$なので、

$\vec{CD} = \vec{OD} - \vec{OC} = -\frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}$

(2) $\vec{CE}$を求める。

$\vec{OE} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$なので、

$\vec{CE} = \vec{OE} - \vec{OC} = (1-t)\vec{OA} + t\vec{OB} - \frac{1}{5}\vec{OA} = (\frac{4}{5}-t)\vec{OA} + t\vec{OB}$

(3) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$を求める。

$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |OA||OB|\cos{120^\circ} = 3 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2}$

(4) $\angle DCE = 90^\circ$なので$\vec{CD} \cdot \vec{CE} = 0$となる。

$\vec{CD} \cdot \vec{CE} = (-\frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) \cdot ((\frac{4}{5}-t)\vec{OA} + t\vec{OB}) = -\frac{1}{5}(\frac{4}{5}-t)|\vec{OA}|^2 - \frac{t}{5}\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{3}{5}(\frac{4}{5}-t)\vec{OA} \cdot \vec{OB} + \frac{3}{5}t|\vec{OB}|^2 = 0$

$-\frac{1}{5}(\frac{4}{5}-t)9 - \frac{t}{5}(-\frac{3}{2}) + \frac{3}{5}(\frac{4}{5}-t)(-\frac{3}{2}) + \frac{3}{5}t = 0$

$-\frac{36}{25} + \frac{9}{5}t + \frac{3}{10}t - \frac{18}{25} + \frac{9}{10}t + \frac{3}{5}t = 0$

$(\frac{18}{10} + \frac{3}{10} + \frac{9}{10} + \frac{6}{10})t = \frac{54}{25}$

$\frac{36}{10}t = \frac{54}{25}$

$t = \frac{54}{25} \cdot \frac{10}{36} = \frac{540}{900} = \frac{3}{5}$

(5) 直線OEと直線CDの交点をFとすると、

$\vec{OF} = k \vec{OE} = k (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB})$

$\vec{OF} = \vec{OC} + l \vec{CD} = \frac{1}{5}\vec{OA} + l (-\frac{1}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) = (\frac{1}{5}-\frac{l}{5})\vec{OA} + \frac{3l}{5}\vec{OB}$

$\frac{2}{5}k = \frac{1}{5}-\frac{l}{5}$、$\frac{3}{5}k = \frac{3l}{5}$より、$k=l$

$\frac{2}{5}k = \frac{1}{5} - \frac{k}{5}$

$\frac{3}{5}k = \frac{1}{5}$

$k = \frac{1}{3}$

$\vec{OF} = \frac{1}{3} (\frac{2}{5}\vec{OA} + \frac{3}{5}\vec{OB}) = \frac{2}{15}\vec{OA} + \frac{1}{5}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

アイ：-1, イ：5, ウ：5, エ：3, オ：5, カ：4, キ：5, クケ：-3, コ：2, サ：0, シ：3, ス：5, セ：2, ソタ：15, チ：1, ツ：5