正八角形の3個の頂点を結んで作られる三角形について、以下の個数を求める問題です。 (1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数 (2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

1. 問題の内容

正八角形の3個の頂点を結んで作られる三角形について、以下の個数を求める問題です。

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

2. 解き方の手順

(1) 正八角形と2辺を共有する三角形の個数

正八角形のある頂点から2辺が伸びているので、そのような頂点の数がそのまま三角形の数になります。正八角形には8つの頂点があるので、求める三角形の個数は8個です。

(2) 正八角形と辺を共有しない三角形の個数

まず、正八角形の頂点から3つを選んで三角形を作る組み合わせの総数を求めます。これは、$8$個から$3$個を選ぶ組み合わせなので、

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{}_{8}C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56

$$$$

となります。

次に、正八角形と1辺だけを共有する三角形の個数を求めます。

共有する1辺を選びます。これは8通りあります。その辺の両端の頂点以外の頂点を一つ選びます。両端の頂点を除くと、頂点は6つ残ります。ただし、両端の頂点に隣接する頂点を選んでしまうと2辺を共有することになってしまうので、それらの2つの頂点を除きます。したがって、選べる頂点は$6-2=4$個です。したがって、共有する辺が1つである三角形の数は$8 \times 4 = 32$個です。

次に、正八角形と2辺を共有する三角形の個数は、(1)で求めたように8個です。

したがって、正八角形と少なくとも1辺を共有する三角形の個数は $32 + 8 = 40$ 個です。

正八角形と辺を共有しない三角形の個数は、三角形の総数から少なくとも1辺を共有する三角形の個数を引けば求められます。

$$$$

56 - 40 = 16

$$$$

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) 16個