座標空間に4点 $O(0,0,0)$, $A(2,0,3)$, $B(2,2,3)$, $C(0,2,3)$ がある。四面体$OABC$において、辺$AB$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とする。$|OM|=|ON|$の値、$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$の値、三角形$OMN$の面積を求める。点$P(3,3,0)$から平面$OMN$に下ろした垂線と平面$OMN$の交点を$H$とし、実数$s,t$を用いて $\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}$ と表す。$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON}$ の値、$s$, $t$の値を求め、点$H$の座標と三角形$HMN$の面積が三角形$OMN$の面積の何倍かを求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

座標空間に4点 $O(0,0,0)$, $A(2,0,3)$, $B(2,2,3)$, $C(0,2,3)$ がある。四面体$OABC$において、辺$AB$, $BC$の中点をそれぞれ$M$, $N$とする。$|OM|=|ON|$の値、$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}$の値、三角形$OMN$の面積を求める。点$P(3,3,0)$から平面$OMN$に下ろした垂線と平面$OMN$の交点を$H$とし、実数$s,t$を用いて $\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}$ と表す。$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON}$ の値、$s$, $t$の値を求め、点$H$の座標と三角形$HMN$の面積が三角形$OMN$の面積の何倍かを求める。

2. 解き方の手順

まず、点$M, N$の座標を求める。

$M$は辺$AB$の中点なので、$M = (\frac{2+2}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{3+3}{2}) = (2, 1, 3)$

$N$は辺$BC$の中点なので、$N = (\frac{2+0}{2}, \frac{2+2}{2}, \frac{3+3}{2}) = (1, 2, 3)$

したがって、$\overrightarrow{OM} = (2, 1, 3)$、$\overrightarrow{ON} = (1, 2, 3)$

$|OM| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$

$|ON| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$

よって、$|OM|=|ON|=\sqrt{14}$

$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = 2 \times 1 + 1 \times 2 + 3 \times 3 = 2+2+9 = 13$

三角形$OMN$の面積は、$\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{OM}|^2 |\overrightarrow{ON}|^2 - (\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON})^2}$ で計算できる。

$\frac{1}{2} \sqrt{14 \times 14 - 13^2} = \frac{1}{2} \sqrt{196-169} = \frac{1}{2} \sqrt{27} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\overrightarrow{OP} = (3, 3, 0)$であり、$\overrightarrow{OH} = s\overrightarrow{OM} + t\overrightarrow{ON}$

$\overrightarrow{OH} = (2s+t, s+2t, 3s+3t)$

$\overrightarrow{PH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OP} = (2s+t-3, s+2t-3, 3s+3t)$

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = (2s+t-3) \times 2 + (s+2t-3) \times 1 + (3s+3t) \times 3 = 4s+2t-6+s+2t-3+9s+9t = 14s+13t-9 = 0$

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON} = (2s+t-3) \times 1 + (s+2t-3) \times 2 + (3s+3t) \times 3 = 2s+t-3+2s+4t-6+9s+9t = 13s+14t-9 = 0$

$14s+13t-9 = 0$、 $13s+14t-9 = 0$より、連立方程式を解くと、$s=t$がわかる。

$14s+13s-9=0$、$27s=9$、$s=\frac{1}{3}$

$t=\frac{1}{3}$

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON} = 0$

点$H$の座標は、$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{3}(2, 1, 3) + \frac{1}{3}(1, 2, 3) = (1, 1, 2)$

$H(1, 1, 2)$

三角形$HMN$の面積を計算する。

$\overrightarrow{HM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OH} = (2, 1, 3) - (1, 1, 2) = (1, 0, 1)$

$\overrightarrow{HN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OH} = (1, 2, 3) - (1, 1, 2) = (0, 1, 1)$

$|\overrightarrow{HM}|^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2$

$|\overrightarrow{HN}|^2 = 0^2 + 1^2 + 1^2 = 2$

$\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{HN} = 1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 1 = 1$

三角形$HMN$の面積は、$\frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{HM}|^2 |\overrightarrow{HN}|^2 - (\overrightarrow{HM} \cdot \overrightarrow{HN})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 2 - 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$|OM|=|ON|=\sqrt{14}$

$\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON} = 13$

三角形$OMN$の面積は$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{PH} \cdot \overrightarrow{ON} = 0$

$s = \frac{1}{3}$

$t = \frac{1}{3}$

点$H$の座標は$(1, 1, 2)$

三角形$HMN$の面積は三角形$OMN$の面積の$\frac{1}{3}$倍