四面体 $ABCD$ において、$\triangle BCD$ の重心を $E$、$\triangle ACD$ の重心を $F$ とする。線分 $AE$、 $BF$ をそれぞれ $3:1$ に内分する点が一致することを示せ。

1. 問題の内容

四面体 $ABCD$ において、$\triangle BCD$ の重心を $E$、$\triangle ACD$ の重心を $F$ とする。線分 $AE$、 $BF$ をそれぞれ $3:1$ に内分する点が一致することを示せ。

2. 解き方の手順

点 $A$ を基準とする位置ベクトルを考えます。点 $A$, $B$, $C$, $D$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ とします。

$\triangle BCD$ の重心 $E$ の位置ベクトル $\vec{e}$ は

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\vec{e} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}

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$\triangle ACD$ の重心 $F$ の位置ベクトル $\vec{f}$ は

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\vec{f} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}

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線分 $AE$ を $3:1$ に内分する点を $P$ とすると、その位置ベクトル $\vec{p}$ は

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\vec{p} = \frac{1 \cdot \vec{a} + 3 \cdot \vec{e}}{3+1} = \frac{\vec{a} + 3 \cdot \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}

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線分 $BF$ を $3:1$ に内分する点を $Q$ とすると、その位置ベクトル $\vec{q}$ は

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\vec{q} = \frac{1 \cdot \vec{b} + 3 \cdot \vec{f}}{3+1} = \frac{\vec{b} + 3 \cdot \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}}{4} = \frac{\vec{b} + \vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{4} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}

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$\vec{p} = \vec{q}$ なので、点 $P$ と点 $Q$ は一致する。

3. 最終的な答え

線分 $AE$, $BF$ をそれぞれ $3:1$ に内分する点は一致する。