正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD=60^\circ$であるとき、$AE=CD$となることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形ABCの辺AB上に点D、辺BC上に点Eをとる。AEとCDの交点をFとする。$\angle AFD=60^\circ$であるとき、$AE=CD$となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AFD = 60^\circ$という条件から、$\angle CFE = 60^\circ$がわかる。

また、$\angle FAE = 180^\circ - \angle AFE - \angle AEB$ となり、$\angle AFE = 180^\circ - \angle AFD = 120^\circ$ なので、$\angle FAE = \angle AEB - 60^\circ$。

$\angle CAD = \angle CAF$ と表せる。

次に、$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAC - \angle ACD$ と表せる。

正三角形なので、$\angle BAC = \angle ABC = \angle BCA = 60^\circ$である。

ここで、$\triangle ABD$ と $\triangle BCE$に注目する。

$AB = BC$ (正三角形の辺)

$\angle ABD = \angle BCE = 60^\circ$ (正三角形の内角)

$\angle DAF = \alpha$と置くと、$\angle DAC = \alpha$。

$\angle FCE = \beta$と置くと、$\angle ECB = \beta$。

$\angle AFD = 60^\circ$なので、$\angle DAF + \angle ADC = 120^\circ$が成り立つ。

$\angle AFD = \angle FCE + \angle FEC$も成り立つ。

$\triangle ADC$と$\triangle BEA$について考える。

$AC = BA$ (正三角形の辺)

$\angle ACD = \angle BAE$ を示せば、$AE=CD$を証明できる。

$\angle AFD = 60^\circ$より$\angle AFE = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

$\angle FAE + \angle AFE + \angle FEA = 180^\circ$より、$\angle FAE + 120^\circ + \angle FEA = 180^\circ$

$\angle FAE + \angle FEA = 60^\circ$.

$\angle FEA = \angle CED$ (対頂角).

$\angle FAE = \alpha$とすると、$\angle CED = 60^\circ - \alpha$.

$\angle DCE = 180^\circ - \angle CED - \angle EDC = 180^\circ - (60^\circ - \alpha) - \angle EDC = 120^\circ + \alpha - \angle EDC$.

ここで、$\angle DFC = 60^\circ$ より、$\angle ADC + \angle DAE = 120^\circ$。

$\triangle ADC$と$\triangle BEA$において、$AC = BA$, $\angle ACD = \angle BAE$, $\angle CAD = \angle ABE = 60^\circ$ が言えれば良い。

三角形ADCと三角形BEAにおいて、

AC=BA(正三角形ABCの辺)

∠DAC = ∠EBA = 60°(正三角形ABCの内角)

∠ACD = ∠BAE であることを示す。

∠AFD = 60°なので、四角形AFCEの内角の和は360°より

∠EAF+∠AFC+∠FCE+∠CEA = 360°

∠EAF+120°+∠FCE+∠CEA = 360°

∠EAF+∠FCE+∠CEA = 240°

ここで、∠CEA= 180°-∠AEBなので

∠EAF+∠FCE+180°-∠AEB = 240°

∠EAF+∠FCE = 60°+∠AEB

$\triangle ADF$について、$\angle DAF + \angle ADF = 120^\circ$.

$\triangle CFE$について、$\angle FCE + \angle FEC = 120^\circ$.

$\angle ADF = \angle AEF$を示す。

$\angle BCD + \angle DAE = 60$.

$\triangle ADC \equiv \triangle BEA$を示す。

$AC = AB$。

$\angle DCA = \angle EAB$ を示す。

$\angle DAC = \angle EBA = 60^{\circ}$.

もし$\triangle ADC \equiv \triangle BEA$が示されれば、$AE = CD$が示せる。

最終的に示すべきことは、$\triangle ADC \equiv \triangle BEA$。

$AC = BA$。

$\angle DAC = \angle EBA = 60^\circ$。

$\angle ACD = \angle BAE$を示す。

$\angle AFE = 120^\circ$より $\angle DFC = 60^\circ$なので、

$\angle FCD + \angle CED = 120^\circ$

$\angle BEA = \angle ADC$

3. 最終的な答え

証明終了