$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ （$R$は外接円の半径）が成り立つ。したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$となる。

問題文の式 $\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ に、上記の式を代入すると、

$\frac{a}{11 \cdot 2R} = \frac{b}{10 \cdot 2R} = \frac{c}{3 \cdot 2R}$ となる。

したがって、$\frac{a}{11} = \frac{b}{10} = \frac{c}{3}$ が得られる。

この式から、$a:b:c = 11:10:3$ であることがわかる。

ここで、比例定数を$k$とおくと、$a=11k$, $b=10k$, $c=3k$と表せる。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$\cos A = \frac{(10k)^2 + (3k)^2 - (11k)^2}{2(10k)(3k)}$

$\cos A = \frac{100k^2 + 9k^2 - 121k^2}{60k^2}$

$\cos A = \frac{-12k^2}{60k^2}$

$\cos A = -\frac{12}{60}$

$\cos A = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{5}$