三角形ABCにおいて、角Bの二等分線と辺ACの交点をD、角Cの二等分線と辺ABの交点をEとする。 (1) BC = a, CA = b, AB = cとするとき、線分BE, CDの長さをa, b, cで表せ。 (2) BE = CDのとき、三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、角Bの二等分線と辺ACの交点をD、角Cの二等分線と辺ABの交点をEとする。

(1) BC = a, CA = b, AB = cとするとき、線分BE, CDの長さをa, b, cで表せ。

(2) BE = CDのとき、三角形ABCは二等辺三角形であることを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の定理より、

AE:EC = c:a なので、AE = $\frac{bc}{a+c}$.

よって、BEは三角形ABEにおいて余弦定理を用いる。

角の二等分線の定理より、

AD:DB = b:a なので、AD = $\frac{bc}{a+b}$.

よって、CDは三角形ACDにおいて余弦定理を用いる。

三角形ABEにおいて、

$BE^2 = c^2 + (\frac{bc}{a+c})^2 - 2c (\frac{bc}{a+c}) \cos A$

ここで、$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ なので、

$BE^2 = c^2 + (\frac{bc}{a+c})^2 - \frac{b(b^2+c^2-a^2)}{a+c} = \frac{c((a+c)^2b^2-b(b^2+c^2-a^2))}{a+c}$

整理すると、$BE^2 = \frac{c(a+c)(a+c+b)(a+c-b)}{(a+c)^2}$

次に、CDの長さを求める。

三角形ACDにおいて、

$CD^2 = b^2 + (\frac{bc}{a+b})^2 - 2b (\frac{bc}{a+b}) \cos A$

ここで、$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ なので、

$CD^2 = b^2 + (\frac{ab}{a+b})^2 - \frac{a(a^2+b^2-c^2)}{a+b} = \frac{b((a+b)^2a^2-a(a^2+b^2-c^2))}{a+b}$

整理すると、$CD^2 = \frac{b(a+b)(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2}$

(2) BE = CDのとき、三角形ABCは二等辺三角形であることを証明する。

BE = CDのとき、$BE^2 = CD^2$である。

$\frac{c(a+c)(a+c+b)(a+c-b)}{(a+c)^2} = \frac{b(a+b)(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2}$

$(a+c)(a+c+b) > 0$　と$(a+b)(a+b+c) > 0$より、$\frac{c(a+c-b)}{(a+c)^2} = \frac{b(a+b-c)}{(a+b)^2}$

$c(a+c-b)(a+b)^2 = b(a+b-c)(a+c)^2$

$c(a+c-b)(a^2+2ab+b^2) = b(a+b-c)(a^2+2ac+c^2)$

$a^3c +2a^2bc +ab^2c + a^2c^2 + 2abc^2 + b^2c^2 - a^2b^2 -2ab^3 -b^4 = a^3b +2a^2bc +ac^2b + a^2b^2 + 2abc^2 + bc^2 - a^2c^2 -2ac^3 -c^4$

最終的に証明ができていません。

3. 最終的な答え

(1) $BE = c\sqrt{\frac{(a+c+b)(a+c-b)}{(a+c)^2}}$ , $CD = b\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{(a+b)^2}}$

(2) 証明できません