正三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $BC$ 上に点 $E$ をとる。$AE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。$\angle AFD = 60^\circ$ であるとき、$AE = CD$ となることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $BC$ 上に点 $E$ をとる。$AE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。$\angle AFD = 60^\circ$ であるとき、$AE = CD$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、$\angle AFD = 60^\circ$ であることから、$\angle CFE = 60^\circ$。

$\angle ACB = 60^\circ$（正三角形の内角）より、$\angle CFE = \angle ACB = 60^\circ$。

次に、$\angle FAC = \angle CAE$ とおく。

$\triangle ADF$ において、

$\angle DAF + \angle AFD + \angle FDA = 180^\circ$ より、$\angle FDA = 180^\circ - 60^\circ - \angle DAF = 120^\circ - \angle DAF$。

$\angle DAF = \angle BAC - \angle DAC = 60^\circ - \angle DAC$。

よって、$\angle FDA = 120^\circ - (60^\circ - \angle DAC) = 60^\circ + \angle DAC$。

$\triangle CFE$ において、

$\angle ECF + \angle CFE + \angle FEC = 180^\circ$。

$\angle FEC = 180^\circ - 60^\circ - \angle ECF = 120^\circ - \angle ECF$。

$\angle ECF = \angle BCA - \angle ECA = 60^\circ - \angle ECA$。

よって、$\angle FEC = 120^\circ - (60^\circ - \angle ECA) = 60^\circ + \angle ECA$。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB - \angle ACD = 180^\circ - 60^\circ - \angle DCA$。

$\angle AEC = 180^\circ - \angle ACB - \angle CAE = 180^\circ - 60^\circ - \angle ECA$。

$\angle ADB = 180^\circ - \angle ADC$

$\triangle ADC$ と $\triangle AEB$ について考える。

$AC=AB$ (正三角形)。

$\angle CAD = \angle ABE$

$\angle ACD = \angle BAE$

であれば、 $\triangle ADC \equiv \triangle AEB$ となり、 $AE=CD$ が証明できる。

$\triangle ADC$ と $\triangle BEA$ において、

$AC = BA$ (正三角形 $ABC$ の辺)

$\angle ACD = \angle BAE$ を示す。

$\angle ADC = 180 - \angle DAC - \angle ACD$

$\angle BEA = 180 - \angle EBA - \angle BAE$

$\triangle ADF$において $\angle DAF + \angle ADF + \angle AFD = 180$

$\angle DAF + \angle ADF + 60 = 180$

$\angle ADF = 120 - \angle DAF$

$\angle ADF + \angle BDC = 180$ (一直線)

$\angle BDC = 180 - \angle ADF = 180 - (120 - \angle DAF) = 60 + \angle DAF$

$\angle ABE + \angle BEC + \angle BCA = 180$

$60^\circ = \angle AFD = \angle DFE$

$\angle FEC + \angle CFE + \angle ECF = 180$

$\angle CFE = 60^\circ$ より $\angle FEC + \angle ECF = 120^\circ$

$\angle BEC + \angle BEA = 180^\circ$

$\angle BEA = 180^\circ - \angle BEC$

$\triangle ABE$と$\triangle CAD$において

$AB=CA$

$\angle BAE = \angle ACD$

$\angle ABE = \angle CAD$

を示したい

$\angle BAE = \alpha$とおくと

$\angle AFD=60$より$\angle AFE=120$

三角形 AFEより $\angle FAE + \angle AEF=60$

$\angle AEF = 60 - \angle FAE = 60 - \alpha$

$\angle BEC = 180 - \angle AEF = 180-(60 - \alpha) = 120 + \alpha$

$\angle BCE = 60$

$\angle EBC = 180 - 60 - (120 + \alpha) = 0 - \alpha$

これはおかしい

$\triangle ABE$ と $\triangle CAD$ において

$AB=CA$ （正三角形$ABC$の辺）

$\angle ABE = \angle CAD = 60^\circ$ （正三角形の内角）

$\angle BAE = \angle ACD$ を示す。

$\angle AFD = 60^\circ$より、$\angle AFC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle FAC + \angle ACF = 180^\circ - \angle AFC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

$\angle FAC = \angle BAE$ とおくと、

$\angle BAE + \angle ACD = 60^\circ$

したがって、$\angle BAE = \angle ACD$ が成り立つ。

ゆえに、$\triangle ABE \equiv \triangle CAD$ （2角夾辺相等）

よって、$AE=CD$

3. 最終的な答え

$AE = CD$