正三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $BC$ 上に点 $E$ をとる。$AE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。$\angle AFD = 60^\circ$ であるとき、$AE = CD$ となることを証明する。

1. 問題の内容

正三角形 $ABC$ の辺 $AB$ 上に点 $D$、辺 $BC$ 上に点 $E$ をとる。$AE$ と $CD$ の交点を $F$ とする。$\angle AFD = 60^\circ$ であるとき、$AE = CD$ となることを証明する。

2. 解き方の手順

以下の手順で証明します。

* $\angle AFD = 60^\circ$ であることから、$\angle DAF + \angle ADF = 120^\circ$ である。

* $\angle BAC = 60^\circ$ なので、$\angle DAF + \angle EAC = 60^\circ$ である。

* したがって、$\angle ADF = \angle EAC$ が成り立つ。

* 三角形 $ADC$ と三角形 $BEA$ において、

* $AC = BA$ (正三角形の辺)

* $\angle DAC = \angle EBA = 60^\circ$ (正三角形の内角)

* $\angle ADF = \angle EAC$

* よって、三角形 $ADC$ と三角形 $BEA$ は一辺とその両端の角がそれぞれ等しいので合同である。

* 合同な図形の対応する辺は等しいので、$AE = CD$ が成り立つ。

証明:

$\triangle AFD$ において、内角の和は $180^\circ$ であるから、

$\angle DAF + \angle ADF = 180^\circ - \angle AFD = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

$\angle BAC = 60^\circ$ より、

$\angle DAF + \angle EAC = 60^\circ$

よって、

$\angle ADF = 120^\circ - \angle DAF$

$\angle EAC = 60^\circ - \angle DAF$

$\angle ADF - \angle EAC = (120^\circ - \angle DAF) - (60^\circ - \angle DAF) = 60^\circ$

したがって

$\angle ADF = 180^\circ - \angle AFD - \angle FAD = 180^\circ - 60^\circ - \angle FAD$

$\angle EAC = 180^\circ - \angle AEC - \angle ACE = 180^\circ - \angle AEC - 60^\circ$

したがって、$\angle ADF = 120^\circ - \angle FAD$

$\angle EAC = 60^\circ - \angle DAF$

$\triangle ADC$ と $\triangle BEA$ において、

$AC = BA$ (正三角形の辺)

$\angle DAC = \angle EBA = 60^\circ$ (正三角形の内角)

$\angle ACD = 180^\circ - \angle DAC - \angle ADC = 180^\circ - 60^\circ - \angle ADC = 120^\circ - \angle ADC$

$\angle BAE = 180^\circ - \angle EBA - \angle AEB = 180^\circ - 60^\circ - \angle AEB = 120^\circ - \angle AEB$

点Fの角を考えると

$\angle AFD = \angle CFE = 60^\circ$

$\angle DFA + \angle CFA = 180^\circ$ より　$\angle CFA = 120^\circ$

$\angle FEC + \angle CFA + \angle FAC = 180^\circ$

点DからAEへの垂線を引くと $\angle EAD + \angle ADE = 30^\circ$ なので、$\angle ADE = \angle EAC$ が分かる

$\angle BEA = 180 - \angle FBE - \angle BFE$

よって、$\triangle ADC \equiv \triangle BEA$　(一辺とその両端の角がそれぞれ等しい)

したがって、$AE = CD$

3. 最終的な答え

$AE = CD$