$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ が成り立つとき、$\cos A$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

正弦定理より、$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ (Rは外接円の半径) が成り立ちます。したがって、$\sin A = \frac{a}{2R}$, $\sin B = \frac{b}{2R}$, $\sin C = \frac{c}{2R}$ と表すことができます。

与えられた式 $\frac{\sin A}{11} = \frac{\sin B}{10} = \frac{\sin C}{3}$ にこれらを代入すると、

$\frac{a}{11(2R)} = \frac{b}{10(2R)} = \frac{c}{3(2R)}$

各項に $2R$ をかけると、

$\frac{a}{11} = \frac{b}{10} = \frac{c}{3}$

したがって、$a:b:c = 11:10:3$ となります。

ここで、比例定数を $k$ とおくと、$a = 11k$, $b = 10k$, $c = 3k$ と表せます。

次に、余弦定理を用いて $\cos A$ を求めます。

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

$a = 11k$, $b = 10k$, $c = 3k$ を代入すると、

$\cos A = \frac{(10k)^2 + (3k)^2 - (11k)^2}{2(10k)(3k)}$

$\cos A = \frac{100k^2 + 9k^2 - 121k^2}{60k^2}$

$\cos A = \frac{-12k^2}{60k^2}$

$\cos A = -\frac{12}{60} = -\frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{1}{5}$