円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=4, CD=4, ∠B=60°である。 (1) ACの値を求めよ。 (2) ∠Dの値を求めよ。 (3) ADの値を求めよ。

幾何学四角形余弦定理内接角度
2025/8/2

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=5, BC=4, CD=4, ∠B=60°である。
(1) ACの値を求めよ。
(2) ∠Dの値を求めよ。
(3) ADの値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ACの値を求める。
三角形ABCにおいて、余弦定理を用いる。
AC2=AB2+BC22ABBCcosBAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B
AC2=52+42254cos60AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ
AC2=25+164012AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}
AC2=4120AC^2 = 41 - 20
AC2=21AC^2 = 21
AC=21AC = \sqrt{21}
(2) ∠Dの値を求める。
四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180°である。
∠B + ∠D = 180°
∠D = 180° - ∠B
∠D = 180° - 60°
∠D = 120°
(3) ADの値を求める。
三角形ACDにおいて、余弦定理を用いる。
AC2=AD2+CD22ADCDcosDAC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos D
21=AD2+422AD4cos12021 = AD^2 + 4^2 - 2 \cdot AD \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ
21=AD2+168AD(12)21 = AD^2 + 16 - 8AD \cdot (-\frac{1}{2})
21=AD2+16+4AD21 = AD^2 + 16 + 4AD
AD2+4AD5=0AD^2 + 4AD - 5 = 0
(AD+5)(AD1)=0(AD+5)(AD-1) = 0
AD=5,1AD = -5, 1
AD > 0なので、AD = 1

3. 最終的な答え

(1) AC=21AC = \sqrt{21}
(2) D=120∠D = 120^\circ
(3) AD=1AD = 1

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