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半径1、中心角 $\frac{\pi}{3}$ の扇形OABがある。弧AB上に2点P,Q、線分OA上に点S、線分OB上に点Rを、四角形PQRSが長方形になるようにとる。 (1) $\angle AOP = \theta$ とするとき、線分PQの長さを $\theta$ を用いて表せ。 (2) 長方形PQRSの面積を最大にする $\theta$ および、そのときの長方形PQRSの面積を求めよ。

幾何学扇形長方形面積三角関数最大値
2025/8/2

1. 問題の内容

半径1、中心角 π3\frac{\pi}{3} の扇形OABがある。弧AB上に2点P,Q、線分OA上に点S、線分OB上に点Rを、四角形PQRSが長方形になるようにとる。
(1) ∠AOP=θ\angle AOP = \theta とするとき、線分PQの長さを θ\theta を用いて表せ。
(2) 長方形PQRSの面積を最大にする θ\theta および、そのときの長方形PQRSの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)
点P, Qは弧AB上の点であるから、OP = OQ = 1。
∠AOP=θ\angle AOP = \theta なので、∠AOQ=θ+∠POQ=θ+∠PSR=θ+π2\angle AOQ = \theta + \angle POQ = \theta + \angle PSR = \theta + \frac{\pi}{2}
∠BOQ=π3−∠AOQ=π3−(θ+π2)=−θ−π6\angle BOQ = \frac{\pi}{3} - \angle AOQ = \frac{\pi}{3} - (\theta + \frac{\pi}{2}) = - \theta - \frac{\pi}{6}
余弦定理より、
PQ2=OP2+OQ2−2OP⋅OQ⋅cos⁡∠POQPQ^2 = OP^2 + OQ^2 - 2OP \cdot OQ \cdot \cos{\angle POQ}
PQ2=12+12−2⋅1⋅1⋅cos⁡π2=2PQ^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos{\frac{\pi}{2}} = 2
PQ=2PQ = \sqrt{2} これはθ\theta の関数ではないので誤り
∠POQ=∠AOB−∠AOP−∠BOQ\angle POQ = \angle AOB - \angle AOP - \angle BOQ
点Qは弧AB上の点なので、θ<π6\theta < \frac{\pi}{6}
∠POQ=∠RSQ=π/2\angle POQ = \angle RSQ = \pi/2
∠AOQ=∠AOP+∠POQ=θ+π2\angle AOQ = \angle AOP + \angle POQ = \theta + \frac{\pi}{2}
∠AOQ=θ+π2\angle AOQ = \theta + \frac{\pi}{2}なので、∠QOB=π3−(θ+π2)=−θ−π6\angle QOB = \frac{\pi}{3} - (\theta + \frac{\pi}{2}) = -\theta - \frac{\pi}{6} これはありえない。
∠AOB=π3\angle AOB = \frac{\pi}{3} だから、∠AOP+∠POQ+∠QOB=π3\angle AOP + \angle POQ + \angle QOB = \frac{\pi}{3}。
∠AOP=θ\angle AOP = \theta より、∠QOB=π3−θ−∠POQ\angle QOB = \frac{\pi}{3} - \theta - \angle POQ
∠POQ=π2\angle POQ = \frac{\pi}{2} より、∠QOB=π3−θ−π2=−θ−π6\angle QOB = \frac{\pi}{3} - \theta - \frac{\pi}{2} = -\theta - \frac{\pi}{6}
点Qは弧AB上の点だから、∠AOQ<∠AOB\angle AOQ < \angle AOB
つまり、θ+π2<π3\theta + \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{3}
θ<−π6\theta < -\frac{\pi}{6}　これはありえない。
∠AOP=θ\angle AOP = \thetaなので、P(cos⁡θ,sin⁡θ)P(\cos\theta, \sin\theta)
∠AOQ=π3−θ\angle AOQ = \frac{\pi}{3} - \theta なので、Q(cos⁡(π3−θ),sin⁡(π3−θ))Q(\cos(\frac{\pi}{3}-\theta), \sin(\frac{\pi}{3}-\theta))
PQ2=(cos⁡θ−cos⁡(π3−θ))2+(sin⁡θ−sin⁡(π3−θ))2PQ^2 = (\cos\theta - \cos(\frac{\pi}{3}-\theta))^2 + (\sin\theta - \sin(\frac{\pi}{3}-\theta))^2
PQ2=cos⁡2θ−2cos⁡θcos⁡(π3−θ)+cos⁡2(π3−θ)+sin⁡2θ−2sin⁡θsin⁡(π3−θ)+sin⁡2(π3−θ)PQ^2 = \cos^2\theta - 2\cos\theta\cos(\frac{\pi}{3}-\theta) + \cos^2(\frac{\pi}{3}-\theta) + \sin^2\theta - 2\sin\theta\sin(\frac{\pi}{3}-\theta) + \sin^2(\frac{\pi}{3}-\theta)
PQ2=2−2(cos⁡θcos⁡(π3−θ)+sin⁡θsin⁡(π3−θ))PQ^2 = 2 - 2(\cos\theta\cos(\frac{\pi}{3}-\theta) + \sin\theta\sin(\frac{\pi}{3}-\theta))
PQ2=2−2cos⁡(θ−(π3−θ))=2−2cos⁡(2θ−π3)PQ^2 = 2 - 2\cos(\theta - (\frac{\pi}{3}-\theta)) = 2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})
PQ=2−2cos⁡(2θ−π3)PQ = \sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})}
(2)
OS = cos⁡θ\cos \theta
PS = sin⁡θ\sin \theta
面積S = cos⁡θ⋅2−2cos⁡(2θ−π3)\cos \theta \cdot \sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})}
θ\theta の範囲は、0<θ<π60 < \theta < \frac{\pi}{6}
S=cos⁡θPQ=2cos⁡θ1−cos⁡(2θ−π3)=2cos⁡θ2sin⁡2(θ−π6)=2∣sin⁡(θ−π6)∣cos⁡θ=−2sin⁡(θ−π6)cos⁡θS = \cos\theta PQ = \sqrt{2}\cos\theta \sqrt{1-\cos(2\theta-\frac{\pi}{3})}= \sqrt{2}\cos\theta \sqrt{2\sin^2(\theta-\frac{\pi}{6})} = 2|\sin(\theta-\frac{\pi}{6})| \cos\theta = -2\sin(\theta-\frac{\pi}{6}) \cos\theta
S=−(sin⁡(2θ−π6)−sin⁡(−π6))=−sin⁡(2θ−π6)+12S=-(\sin(2\theta - \frac{\pi}{6})-\sin(-\frac{\pi}{6})) = -\sin(2\theta - \frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}
SSが最大になるのは、sin⁡(2θ−π6)\sin(2\theta-\frac{\pi}{6})が最小の時。
2θ−π6=−π22\theta-\frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}
2θ=−π32\theta = -\frac{\pi}{3}
S=−sin⁡(2θ−π6)+12=−sin⁡(−π2)+12=−(−1)+12=32S = -\sin(2\theta - \frac{\pi}{6}) + \frac{1}{2} = -\sin(-\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2} = -(-1) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
これはありえない。
SSが最大になるのは、sin⁡(2θ−π6)\sin(2\theta - \frac{\pi}{6})が最小の時。
2θ−π6=π22\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}の時。
2θ=2π32\theta = \frac{2\pi}{3}
θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}
しかし、θ\thetaの範囲は、0<θ<π60 < \theta < \frac{\pi}{6}だから、これはありえない。
S′=−2cos⁡(2θ−π6)=0S' = -2\cos(2\theta - \frac{\pi}{6})=0
2θ−π6=π22\theta - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}
2θ=2π32\theta = \frac{2\pi}{3}
θ=π3\theta = \frac{\pi}{3}
θ≈0\theta \approx 0のとき、S≈0S \approx 0
PQ=2−2cos⁡(2θ−π3)PQ = \sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})}.
SR=OSsin⁡θ=cos⁡θSR = OS \sin\theta = \cos \theta.
面積 S=2−2cos⁡(2θ−π3)cos⁡θS = \sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})} \cos \theta
dSdθ=cos⁡θ2sin⁡(2θ−π3)2−2cos⁡(2θ−π3)+2−2cos⁡(2θ−π3)(−sin⁡θ)\frac{dS}{d\theta} = \cos \theta \frac{2\sin(2\theta - \frac{\pi}{3}) }{\sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3}) }} + \sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})} (-\sin \theta)
2θ=π42 \theta = \frac{\pi}{4}
2θ=π3+π22\theta = \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}
θ=π3/2\theta = \frac{\pi}{3/2 }

3. 最終的な答え

(1) PQ=2−2cos⁡(2θ−π3)PQ = \sqrt{2 - 2\cos(2\theta - \frac{\pi}{3})}
(2) θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, S=12S = \frac{1}{\sqrt2}

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