三角形 ABC において、辺 AB 上に点 D, 辺 BC 上に点 E, 辺 CA 上に点 F があり、BD = 2, BE = 2, CE = 7, AD = 5 である。チェバの定理を用いて、CF : FA を求める。

幾何学チェバの定理三角形
2025/8/2
はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、辺 AB 上に点 D, 辺 BC 上に点 E, 辺 CA 上に点 F があり、BD = 2, BE = 2, CE = 7, AD = 5 である。チェバの定理を用いて、CF : FA を求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理を適用する。
チェバの定理とは、三角形 ABC において、辺 BC, CA, AB 上にそれぞれ点 D, E, F があるとき、3直線 AD, BE, CF が1点で交わるための必要十分条件は、
BDDCCEEAAFFB=1\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1
である。
この問題では、与えられた値から
BD=2BD = 2
BE=2BE = 2
CE=7CE = 7
AD=5AD = 5
である。
まず、AE の長さを求める。
BC=BE+CE=2+7=9BC = BE + CE = 2 + 7 = 9
AB=AD+BD=5+2=7AB = AD + BD = 5 + 2 = 7
チェバの定理より、
BDDAAFFCCEEB=1\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CE}{EB} = 1
25AFCF72=1\frac{2}{5} \cdot \frac{AF}{CF} \cdot \frac{7}{2} = 1
1410AFCF=1\frac{14}{10} \cdot \frac{AF}{CF} = 1
AFCF=1014=57\frac{AF}{CF} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}
したがって、
CFAF=75\frac{CF}{AF} = \frac{7}{5}
つまり、
CF:FA=7:5CF : FA = 7 : 5

3. 最終的な答え

CF : FA = 7 : 5

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