三角形ABCにおいて、$a=9$, $b=9$, $c=4$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=9$, $b=9$, $c=4$であるとき、この三角形ABCの外接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

外接円の半径を求めるには、正弦定理を利用します。まず、余弦定理を用いて角Cの余弦を求めます。

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$$

この式に値を代入すると、

$$4^2 = 9^2 + 9^2 - 2 \cdot 9 \cdot 9 \cos{C}$$

$$16 = 81 + 81 - 162\cos{C}$$

$$16 = 162 - 162\cos{C}$$

$$162\cos{C} = 162 - 16$$

$$162\cos{C} = 146$$

$$\cos{C} = \frac{146}{162} = \frac{73}{81}$$

次に、$\sin{C}$を求めます。

$$\sin^2{C} + \cos^2{C} = 1$$

$$\sin^2{C} = 1 - \cos^2{C}$$

$$\sin^2{C} = 1 - \left(\frac{73}{81}\right)^2 = 1 - \frac{5329}{6561} = \frac{6561 - 5329}{6561} = \frac{1232}{6561}$$

$$\sin{C} = \sqrt{\frac{1232}{6561}} = \frac{\sqrt{1232}}{81} = \frac{\sqrt{16 \cdot 77}}{81} = \frac{4\sqrt{77}}{81}$$

ここで、正弦定理より

$$\frac{c}{\sin{C}} = 2R$$

ここで、$R$は外接円の半径です。

$$R = \frac{c}{2\sin{C}}$$

$$R = \frac{4}{2 \cdot \frac{4\sqrt{77}}{81}} = \frac{4}{ \frac{8\sqrt{77}}{81}} = \frac{4 \cdot 81}{8\sqrt{77}} = \frac{81}{2\sqrt{77}} = \frac{81\sqrt{77}}{2 \cdot 77} = \frac{81\sqrt{77}}{154}$$

3. 最終的な答え

$\frac{81\sqrt{77}}{154}$