直角三角形ABCにおいて、AB=4, BC=$2\sqrt{5}$である。このとき、ACの長さを求める。さらに、点Bを端点とする半直線BC上に点Oをとり、Oを中心とする円がBを通り、直線ACに接するとき、三角形ABCの内心、外心、重心のうちどれが直線AO上にあるかを答え、BO:OCの比を求め、円Oの半径を求める。

## 解答

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、AB=4, BC=$2\sqrt{5}$である。このとき、ACの長さを求める。さらに、点Bを端点とする半直線BC上に点Oをとり、Oを中心とする円がBを通り、直線ACに接するとき、三角形ABCの内心、外心、重心のうちどれが直線AO上にあるかを答え、BO:OCの比を求め、円Oの半径を求める。

2. 解き方の手順

(1)ACの長さを求める。

三角形ABCは直角三角形なので、三平方の定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2 = 16 + 20 = 36$

$AC = \sqrt{36} = 6$

(2)円Oが直線ACに接するとき、三角形ABCの内心が直線AO上にある。

これは、円Oが三角形ABCの内接円であることからわかる。内心は内角の二等分線の交点であり、Oは∠ACBの二等分線上にあるため、A, O, 内心は一直線上に並ぶ。

(3)BO:OCの比を求める。

円Oが直線ACに接しているので、円Oの半径をrとすると、OB = r。

OC = BC - OB = $2\sqrt{5} - r$。

△AOBと△AOCにおいて、

$\angle OBA = 90^\circ$, $\angle OCA = 90^\circ$

円Oの中心OからACに下ろした垂線の足をDとすると、OD=r。

$\triangle ODC$において, $OC^2=OD^2+CD^2$

$(2\sqrt{5}-r)^2=r^2+CD^2$

$20-4\sqrt{5}r+r^2=r^2+CD^2$

$CD^2=20-4\sqrt{5}r$

また、$\triangle ABC \sim \triangle ADC$

AC=6, BC=$2\sqrt{5}$, AB=4

$\triangle ACO$において、$AO^2=OC^2+AC^2-2OC\cdot CD cos\angle OCP$

内接円の場合、AOは∠BACの二等分線となるため、内接円の半径をr'とすると、$r'=\frac{AB+BC-AC}{2}=\frac{4+2\sqrt{5}-6}{2}=\sqrt{5}-1$

点Oは内心であり、BO = $2\sqrt{5}-OC$なので、$\frac{BO}{OC}= \frac{2\sqrt{5}-OC}{OC}=\frac{2\sqrt{5}}{OC}-1$。

△ABCの内心をIとすると、AIは∠BACの二等分線なので、BI:IC = AB:AC = 4:6 = 2:3。

BI=OB=r。OC=BC-OB=$2\sqrt{5}-r$。

BI:IC=2:3なので、$\frac{r}{2\sqrt{5}-r} = \frac{2}{3}$。

3r = $4\sqrt{5} - 2r$。

5r = $4\sqrt{5}$。

r = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

BO = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

OC = $2\sqrt{5} - \frac{4\sqrt{5}}{5} = \frac{10\sqrt{5}-4\sqrt{5}}{5} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$。

$\frac{BO}{OC} = \frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\frac{6\sqrt{5}}{5}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

よって、BO:OC = 2:3。

(4)円Oの半径を求める。

円Oの半径はr = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$なので、$\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

3. 最終的な答え

AC = 6

イ = ① (内心)

BO:OC = 2:3

円Oの半径 = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$