問題は2つの部分に分かれています。 最初の部分は、半径が $r$ と $r'$ である2つの円の中心間の距離を $d$ としたとき、与えられた $r, r', d$ の値に対して、2円に引ける共通接線の本数を求める問題です。 2番目の部分は、図において、角$\theta$の大きさを求める問題です。ただし、点Pは接点です。

1. 問題の内容

問題は2つの部分に分かれています。

最初の部分は、半径が $r$ と $r'$ である2つの円の中心間の距離を $d$ としたとき、与えられた $r, r', d$ の値に対して、2円に引ける共通接線の本数を求める問題です。

2番目の部分は、図において、角$\theta$の大きさを求める問題です。ただし、点Pは接点です。

2. 解き方の手順

**最初の部分**

共通接線の本数は、半径の差と中心間距離の関係によって決まります。

(1) $r=2, r'=3, d=6$の場合:

$|r-r'| = |2-3| = 1$

$r + r' = 2 + 3 = 5$

$d = 6$

$|r-r'| < d$ かつ $r+r' < d$ なので、共通外接線が2本、共通内接線が2本引けます。合計4本引けるはずですが、図を見るとその本数は状況によって変わります。

$|r-r'| < d < r+r'$の場合、共通外接線が2本、共通内接線が2本で合計4本です。

$d > r+r'$の場合、共通外接線が2本、共通内接線が2本で合計4本です。

$d = r+r'$の場合、共通外接線が2本、共通内接線が1本で合計3本です。

$d = |r-r'|$の場合、共通外接線が1本、共通内接線が0本で合計1本です。

$d < |r-r'|$の場合、共通外接線が0本、共通内接線が0本で合計0本です。

したがって、$d=6 > r+r' = 5$ なので、共通接線は4本存在します。しかし問題文の指示に従い、状況に応じて0本の場合も考慮する必要があるため、与えられた選択肢に合うように考えると、この場合は共通接線が4本引ける条件なので、4本と考えるべきですが、選択肢から4を選ぶことができないので、検討が必要です。

問題文には「共通接線の本数を求めよ」とあり、具体的な本数を答える必要があります。$r=2, r'=3, d=6$のとき、$r+r' = 5 < d = 6$より、共通外接線が2本、共通内接線が2本なので、合計4本引けます。

(2) $r=5, r'=2, d=7$の場合:

$|r-r'| = |5-2| = 3$

$r+r' = 5 + 2 = 7$

$d = 7$

$r+r' = d$ なので、共通外接線が2本、共通内接線が1本です。よって合計3本引けます。

**2番目の部分**

点Pは接点なので、線分APと線分BPは円に内接しています。

円周角の定理より、$\angle APB = 2\angle ACB$

四角形APCDを考えると、円に内接する四角形の対角の和は180度なので、

$\angle APC + \angle ADC = 180^\circ$

また、$\angle ADC = 45^\circ$より、$\angle APC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$

$\angle APB = 55^\circ$なので、$\angle BPC = 360^\circ - \angle APC - \angle APB = 360^\circ - 135^\circ - 55^\circ = 170^\circ$

円周角の定理より、$\angle BPC = 2\angle BAC$

したがって、$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BPC = \frac{1}{2}(180^\circ - 55^\circ - 45^\circ) = \frac{1}{2}(80^\circ)=40^\circ$

$\theta = \frac{1}{2} (360 - 2 \times 55 - 2 \times 45) = \frac{1}{2}(360 - 100 - 90) = \frac{1}{2}(160) = 80$

円周角の定理から、$\angle ACB = \frac{1}{2}\angle APD = \frac{1}{2} (360^\circ - 2 \cdot 45^\circ) = \frac{1}{2} (180^\circ)=45^\circ$. したがって、$2 \times 45 = 45$, $\angle ACB = 45/2 = 22.5$. $\angle APB = 2 \theta$. $\angle CPD = 2 * 45 = 90/2 = 45$.

$2\theta + 90 = 360$. これは間違い。

$\angle APB = 2 \angle ACB$. $\angle CPD = 2*45 = 90$

$\angle APB + \angle CPD = 55+45$. $55 + 45 + \theta = 180$.

$\angle ACB = \frac{1}{2} (360- 2 \times 45) = 90/2 = 45$.

角度の和の関係から、$2 \times \theta + 2 \times 45 = 180$

$\theta + 45 = 90$. $\theta = 40$

$\theta = 34^\circ$ は不適切。

$55+45 = 100$. $180-100 = 80$.

3. 最終的な答え

1: 4

2: 3

$\theta = 40^\circ$