円O上に点A, B, Cがあり、$\angle OAB = 25^\circ$, $\angle ACB = 40^\circ$ であるとき、$\angle AOB = \theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

円O上に点A, B, Cがあり、$\angle OAB = 25^\circ$, $\angle ACB = 40^\circ$ であるとき、$\angle AOB = \theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* 三角形OABはOA=OBの二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = 25^\circ$です。

* 三角形OABの内角の和は180度なので、$\angle AOB = 180^\circ - \angle OAB - \angle OBA = 180^\circ - 25^\circ - 25^\circ = 130^\circ$です。

したがって、

$\theta = 130^\circ$

* 円周角の定理より、$\angle AOB = 2 \times \angle ACB$ が成り立つはずですが、与えられた条件では、$\angle AOB = \theta$ であり、$\angle ACB = 40^\circ$ なので、$\theta = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$ になるはずです。しかし、三角形OABに関する計算から$\theta = 130^\circ$ となっています。これは、図が正確ではないことを意味します。

*　問題文で指定された$\angle ACB = 40^\circ$を利用して$\angle AOB$を求めることにします。

円周角の定理より、$\angle AOB = 2 \angle ACB$ が成り立ちます。

従って、

$\angle AOB = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$

すなわち、$\theta = 80^\circ$ です。

3. 最終的な答え

80度