2つの円が点Pで接している。一方の円には点A, B, Pがあり、$\angle APB = 55^\circ$、$\angle PAB = \theta$ である。もう一方の円には点C, D, Pがあり、$\angle CPD = 45^\circ$ である。$\theta$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

2つの円が点Pで接している。一方の円には点A, B, Pがあり、$\angle APB = 55^\circ$、$\angle PAB = \theta$ である。もう一方の円には点C, D, Pがあり、$\angle CPD = 45^\circ$ である。$\theta$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、円周角の定理を用いて、$\angle PDC$ を求める。$\angle PDC = \angle CPC = 45^\circ$

次に、接弦定理を使う。$\angle PBC$ は弧 $PC$ の円周角で、接弦定理より、$\angle BPC = \angle PDC = 45^\circ$。

さらに、$\angle ABP$ は弧 $AP$の円周角で、接弦定理より、$\angle BAP = \angle APB = 55^\circ$。したがって、$\angle APB = 55^\circ$。

$\angle ABP = 55^{\circ}$なので、$\angle CBP = \angle ABP$ である。

三角形 APB において、内角の和は 180 度であるから、

$\angle PAB + \angle ABP + \angle APB = 180^{\circ}$

$\theta + \angle ABP + 55^{\circ} = 180^{\circ}$

$\angle BPC = 45^{\circ}$ である。

また、$\angle APB + \angle BPC = 55^\circ + 45^\circ = 100^\circ$。

$\angle ABP$ は、$\angle CBP$ の別表記である。

四角形ABPCは円に内接するため、$\angle BAC + \angle BPC = 180^{\circ}$なので、

$\theta + 45^{\circ} = 180^{\circ}$

$\theta = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

接弦定理より$\angle PBA = \angle PCA$

$\angle APB= 55^{\circ}$なので$\angle PCD= 55^{\circ}$

$\angle CDP = 45^{\circ}$より、$\angle CPD = 45^{\circ}$

三角形CPDの内角の和は180度より、$\angle DCP = 180- (45 +55) = 80^{\circ}$

よって、$\angle PBA= 80^{\circ}$

三角形PABの内角の和は180度より、$\angle PAB = \theta = 180 - (80+55) = 45^{\circ}$

3. 最終的な答え

$\theta = 45^\circ$