四面体ABCDにおいて、AD=2, BD=4, CD=6, ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°のとき、以下の値を求める問題です。 (1) 四面体ABCDの体積V (2) △ABCの面積S (3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さd

1. 問題の内容

四面体ABCDにおいて、AD=2, BD=4, CD=6, ∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°のとき、以下の値を求める問題です。

(1) 四面体ABCDの体積V

(2) △ABCの面積S

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さd

2. 解き方の手順

(1) 四面体ABCDの体積Vを求めます。

AD, BD, CDが互いに直交しているので、四面体ABCDの体積Vは、

$V = \frac{1}{6} \times AD \times BD \times CD$

$V = \frac{1}{6} \times 2 \times 4 \times 6 = 8$

(2) △ABCの面積Sを求めます。

△ADB, △ADC, △BDCはそれぞれ直角三角形なので、三平方の定理より

$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

$BC = \sqrt{BD^2 + CD^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

△ABCの面積Sを求めるために、ヘロンの公式を用います。

$s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{2\sqrt{5} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{5} + \sqrt{10} + \sqrt{13}$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-AC)(s-BC)}$

$S = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{10}+\sqrt{13})(\sqrt{10}+\sqrt{13}-\sqrt{5})(\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{10})(\sqrt{5}+\sqrt{10}-\sqrt{13})}$

別の解法として、余弦定理を用います。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos{∠BAC}$

$(2\sqrt{13})^2 = (2\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{10})^2 - 2(2\sqrt{5})(2\sqrt{10})\cos{∠BAC}$

$52 = 20 + 40 - 8\sqrt{50} \cos{∠BAC}$

$52 = 60 - 40\sqrt{2} \cos{∠BAC}$

$-8 = -40\sqrt{2} \cos{∠BAC}$

$\cos{∠BAC} = \frac{8}{40\sqrt{2}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10}$

$\sin^2{∠BAC} = 1 - \cos^2{∠BAC} = 1 - (\frac{\sqrt{2}}{10})^2 = 1 - \frac{2}{100} = 1 - \frac{1}{50} = \frac{49}{50}$

$\sin{∠BAC} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{7}{5\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin{∠BAC} = \frac{1}{2} (2\sqrt{5}) (2\sqrt{10}) (\frac{7\sqrt{2}}{10}) = 2\sqrt{50} \frac{7\sqrt{2}}{10} = 2(5\sqrt{2}) \frac{7\sqrt{2}}{10} = 10\sqrt{2} \frac{7\sqrt{2}}{10} = 7(2)/2 = 14$

$S = 14$

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さdを求めます。

四面体ABCDの体積Vは、

$V = \frac{1}{3} \times S \times d$

$8 = \frac{1}{3} \times 14 \times d$

$d = \frac{3 \times 8}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 四面体ABCDの体積V = 8

(2) △ABCの面積S = 14

(3) 頂点Dから平面ABCに下ろした垂線の長さd = $\frac{12}{7}$