直角二等辺三角形ABCがあり、AB = BC = 6cmです。点Pは辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒1cmの速さでCからBへ移動します。PとQが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/9になるのは何秒後ですか？

## 解答

1. 問題の内容

直角二等辺三角形ABCがあり、AB = BC = 6cmです。点Pは辺AB上を毎秒1cmの速さでAからBへ、点Qは辺CB上を毎秒1cmの速さでCからBへ移動します。PとQが同時に出発するとき、三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/9になるのは何秒後ですか？

2. 解き方の手順

三角形ABCの面積を求めます。

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18$

出発してからt秒後のPBの長さを求めます。PはAから毎秒1cmで移動するので、AP = t cm。よって、PB = AB - AP = (6 - t) cm。

出発してからt秒後のBQの長さを求めます。QはCから毎秒1cmで移動するので、CQ = t cm。よって、BQ = BC - CQ = (6 - t) cm。

三角形PBQの面積を求めます。

$S_{PBQ} = \frac{1}{2} \times PB \times BQ = \frac{1}{2} \times (6 - t) \times (6 - t) = \frac{1}{2} (6 - t)^2$

三角形PBQの面積が三角形ABCの面積の1/9になるときのtを求めます。

$S_{PBQ} = \frac{1}{9} S_{ABC}$なので、

$\frac{1}{2} (6 - t)^2 = \frac{1}{9} \times 18$

$\frac{1}{2} (6 - t)^2 = 2$

$(6 - t)^2 = 4$

$6 - t = \pm 2$

$t = 6 \pm 2$

$t = 4, 8$

ただし、$0 \le t \le 6$なので、$t = 4$

3. 最終的な答え

4秒後