三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6とし、垂心をHとする。 $\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。 (2) $\vec{OH}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、OA=4, OB=5, AB=6とし、垂心をHとする。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$とする。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求めよ。

(2) $\vec{OH}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

$|\vec{AB}|^2 = |\vec{OB} - \vec{OA}|^2$より、

$|\vec{b} - \vec{a}|^2 = 6^2$

$|\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{a}|^2 = 36$

$5^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 4^2 = 36$

$25 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + 16 = 36$

$41 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} = 36$

$2\vec{a} \cdot \vec{b} = 41 - 36 = 5$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH}$を、$\vec{a}$, $\vec{b}$ を用いて表す。

$\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおく。

$AH \perp OB$より、$\vec{AH} \cdot \vec{OB} = 0$

$(\vec{OH} - \vec{OA}) \cdot \vec{OB} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$s(\vec{a} \cdot \vec{b}) + t|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\frac{5}{2}s + 25t - \frac{5}{2} = 0$

$5s + 50t - 5 = 0$

$s + 10t = 1$

$BH \perp OA$より、$\vec{BH} \cdot \vec{OA} = 0$

$(\vec{OH} - \vec{OB}) \cdot \vec{OA} = 0$

$(s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$s|\vec{a}|^2 + t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$

$16s + \frac{5}{2}t - \frac{5}{2} = 0$

$32s + 5t - 5 = 0$

$32s + 5t = 5$

連立方程式を解く。

$s + 10t = 1$

$32s + 5t = 5$

$s = 1 - 10t$

$32(1 - 10t) + 5t = 5$

$32 - 320t + 5t = 5$

$315t = 27$

$t = \frac{27}{315} = \frac{3}{35}$

$s = 1 - 10(\frac{3}{35}) = 1 - \frac{6}{7} = \frac{1}{7}$

$\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{3}{35}\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{2}$

(2) $\vec{OH} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{3}{35}\vec{b}$