正三角形ABCの外接円K1において、辺の長さが6である。点Pは円K1上の弧BC（Aを含まない）上にある。AP = 3√5のとき、円K1の半径と線分BPとCPの長さを求める。性質としてAP = BP + CPが成り立つ。

1. 問題の内容

正三角形ABCの外接円K1において、辺の長さが6である。点Pは円K1上の弧BC（Aを含まない）上にある。AP = 3√5のとき、円K1の半径と線分BPとCPの長さを求める。性質としてAP = BP + CPが成り立つ。

2. 解き方の手順

まず、正三角形の外接円の半径を求める。正三角形の辺の長さを $a$ とすると、外接円の半径 $R$ は $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ で求められる。

この問題では $a=6$ なので、$R = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$。したがって、アは2、イは3である。

次に、BPとCPの長さを求める。

性質より、AP = BP + CPが成り立つ。AP = 3√5であるから、BP + CP = 3√5。

また、トレミーの定理より、正三角形ABCにおいて、円周上の点Pについて、AP*BC = BP*AC + CP*AB。AB = BC = AC = 6 なので、AP = BP + CPが導かれる。

BP = x、CP = y とおくと、x + y = 3√5。

さらに、円周角の定理より、∠BPC = ∠BAC = 60度。

余弦定理より、$BC^2 = BP^2 + CP^2 - 2*BP*CP*cos60^{\circ}$。

$6^2 = x^2 + y^2 - xy$。

$36 = x^2 + y^2 - xy$。

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$。

$36 = (x+y)^2 - 2xy - xy = (x+y)^2 - 3xy$。

$36 = (3\sqrt{5})^2 - 3xy = 45 - 3xy$。

$3xy = 9$。

$xy = 3$。

x, yは$t^2 - (x+y)t + xy = 0$の解。

$t^2 - 3\sqrt{5}t + 3 = 0$。

$t = \frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{(3\sqrt{5})^2 - 4*3}}{2} = \frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{45-12}}{2} = \frac{3\sqrt{5} \pm \sqrt{33}}{2}$。

したがって、BPとCPの長さは $\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{33}}{2}$と$\frac{3\sqrt{5} - \sqrt{33}}{2}$である。

ウは3、エは5、オは33、カは2となる。

3. 最終的な答え

K1の半径は $2\sqrt{3}$。

線分BPと線分CPの長さは $\frac{3\sqrt{5} + \sqrt{33}}{2}$と$\frac{3\sqrt{5} - \sqrt{33}}{2}$。