三角形ABCにおいて、AB=8, BC=x, CA=6である。 (1) xの取りうる値の範囲を求めよ。また、三角形ABCが鋭角三角形になるときのxの値の範囲を求めよ。 (2) x=7とする。また、三角形ABCの頂点B, Cから対辺に垂線BD, CEを下ろし、直線BDとCEの交点をFとする。 (i) cos∠BACの値を求めよ。また、線分DEの長さを求めよ。 (ii) 線分AFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=8, BC=x, CA=6である。

(1) xの取りうる値の範囲を求めよ。また、三角形ABCが鋭角三角形になるときのxの値の範囲を求めよ。

(2) x=7とする。また、三角形ABCの頂点B, Cから対辺に垂線BD, CEを下ろし、直線BDとCEの交点をFとする。

(i) cos∠BACの値を求めよ。また、線分DEの長さを求めよ。

(ii) 線分AFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* xの取りうる値の範囲: 三角形の成立条件より、

$AB + BC > CA$, $BC + CA > AB$, $CA + AB > BC$ が成り立つ必要がある。

したがって、

$8 + x > 6$, $x + 6 > 8$, $6 + 8 > x$

これを解くと、

$x > -2$, $x > 2$, $x < 14$

よって、$2 < x < 14$。

* 三角形ABCが鋭角三角形になる条件:

$AB^2 + BC^2 > CA^2$, $BC^2 + CA^2 > AB^2$, $CA^2 + AB^2 > BC^2$ が成り立つ必要がある。

したがって、

$8^2 + x^2 > 6^2$, $x^2 + 6^2 > 8^2$, $6^2 + 8^2 > x^2$

$64 + x^2 > 36$, $x^2 + 36 > 64$, $36 + 64 > x^2$

$x^2 > -28$, $x^2 > 28$, $100 > x^2$

$x > \sqrt{28}$, $x < \sqrt{100}=10$ (xは正なので、$x > 0$)

よって、$2\sqrt{7} < x < 10$ ($2\sqrt{7} \approx 5.29$)

(2) x=7とする。

(i)

余弦定理より、

$cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 * AB * AC} = \frac{8^2 + 6^2 - 7^2}{2 * 8 * 6} = \frac{64 + 36 - 49}{96} = \frac{51}{96} = \frac{17}{32}$

三角形ADEと三角形ABCは相似である。

$DE = BC * cos∠BAC = 7 * \frac{17}{32} = \frac{119}{32}$

(ii)

BDとCEの交点がFなので、Fは三角形ABCの垂心である。

直線AFとBCの交点をGとすると、AGはBCと垂直である。

三角形ABDにおいて、$AD = AB cos∠BAC = 8 * \frac{17}{32} = \frac{17}{4}$

三角形ACEにおいて、$AE = AC cos∠BAC = 6 * \frac{17}{32} = \frac{51}{16}$

直線CEに関してメネラウスの定理を用いると，

$\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}\cdot\frac{DF}{FA}=1$より、

$\frac{AF}{FD}=\frac{AE}{EC}\cdot\frac{CB}{BD}$

$CE = AC sin∠A$

$BD = AB sin∠A$

$\frac{AE}{EC} = \frac{AE}{AC-AE}=\frac{51/16}{6-51/16}=\frac{51}{96-51}=\frac{51}{45}=\frac{17}{15}$

$\frac{CB}{BD}=\frac{7}{8sin∠A}$

$sin^2∠BAC=1-cos^2∠BAC=1-(\frac{17}{32})^2 = \frac{1024-289}{1024}=\frac{735}{1024}$

$sin∠BAC=\frac{\sqrt{735}}{32}$

よって$\frac{CB}{BD}=\frac{7 * 32}{8 * \sqrt{735}} = \frac{28}{\sqrt{735}} = \frac{28}{\sqrt{49 * 15}} = \frac{28}{7\sqrt{15}} = \frac{4}{\sqrt{15}}$

よって$\frac{AF}{FD}=\frac{17}{15}*\frac{4}{\sqrt{15}}=\frac{68}{15\sqrt{15}}$

3. 最終的な答え

(1)

xの取りうる値の範囲: $2 < x < 14$

鋭角三角形になるときのxの値の範囲: $2\sqrt{7} < x < 10$

(2)

(i) $cos∠BAC = \frac{17}{32}$, $DE = \frac{119}{32}$

(ii) $AF= \frac{68}{15\sqrt{15}}FD$

（注：AF/FDの値の計算は正しいか確認してください。FDの長さが不明なので、AFの長さを具体的に求められません。）