直線 $y = -\frac{1}{2}x$ と双曲線 $y = \frac{8}{x}$ がある。直線と双曲線の交点の1つを点Aとし、点Aのx座標は4である。双曲線上にy座標が-8である点Bがある。原点O、点A、点Bを頂点とする三角形AOBの面積を求める。ただし、座標軸の1目盛りは1cmとする。

1. 問題の内容

直線 $y = -\frac{1}{2}x$ と双曲線 $y = \frac{8}{x}$ がある。直線と双曲線の交点の1つを点Aとし、点Aのx座標は4である。双曲線上にy座標が-8である点Bがある。原点O、点A、点Bを頂点とする三角形AOBの面積を求める。ただし、座標軸の1目盛りは1cmとする。

2. 解き方の手順

* 点Aの座標を求める。点Aは直線 $y = -\frac{1}{2}x$ 上にあり、そのx座標は4であるから、y座標は $y = -\frac{1}{2} \times 4 = -2$ となる。よって、点Aの座標は(4, -2)である。

* 点Bの座標を求める。点Bは双曲線 $y = \frac{8}{x}$ 上にあり、そのy座標は-8であるから、x座標は $-8 = \frac{8}{x}$ を解いて $x = -1$ となる。よって、点Bの座標は(-1, -8)である。

* 三角形AOBの面積を求める。三角形AOBの面積は、原点O、点A(4, -2)、点B(-1, -8)を頂点とする三角形である。三角形の面積の公式を用いて計算する。面積Sは、

$S = \frac{1}{2} |x_1y_2 - x_2y_1|$ で求められる。ここで、(x1, y1) = (4, -2)、(x2, y2) = (-1, -8)である。

$S = \frac{1}{2} |(4 \times -8) - (-1 \times -2)|$

$S = \frac{1}{2} |-32 - 2|$

$S = \frac{1}{2} |-34|$

$S = \frac{1}{2} \times 34$

$S = 17$

3. 最終的な答え

17 cm²