一辺の長さが $2\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ の外接円 $K_2$ 上に、点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $D$ を、弦 $BD$ の長さが $2$ となるようにとる。このとき、$\angle ADB$, $AD$, 四角形 $ADBC$ の面積, $\triangle ACD$ と $\triangle BCD$ の面積比、$\triangle ACD$ の面積、 $CD$ の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

一辺の長さが $2\sqrt{7}$ の正三角形 $ABC$ の外接円 $K_2$ 上に、点 $C$ を含まない弧 $AB$ 上に点 $D$ を、弦 $BD$ の長さが $2$ となるようにとる。このとき、$\angle ADB$, $AD$, 四角形 $ADBC$ の面積, $\triangle ACD$ と $\triangle BCD$ の面積比、$\triangle ACD$ の面積、 $CD$ の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(i) $\angle ADB$ を求める。

正三角形 $ABC$ の外接円において、$\angle ACB = 60^\circ$ であるから、円周角の定理より $\angle ADB = \angle ACB = 60^\circ$. よって、$\angle ADB = 60^\circ$.

(ii) $AD$ を求める。

$\triangle ABD$ において、余弦定理より

$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2 \cdot AD \cdot BD \cdot \cos \angle ADB$.

$(2\sqrt{7})^2 = AD^2 + 2^2 - 2 \cdot AD \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$.

$28 = AD^2 + 4 - 4 \cdot AD \cdot \frac{1}{2}$.

$AD^2 - 2AD - 24 = 0$.

$(AD-6)(AD+4)=0$.

$AD>0$ より、$AD=6$.

(iii) 四角形 $ADBC$ の面積を求める。

正三角形 $ABC$ の面積は $\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{7})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 28 = 7\sqrt{3}$.

$\triangle ABD$ の面積は $\frac{1}{2} \cdot AD \cdot BD \cdot \sin \angle ADB = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 2 \cdot \sin 60^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

四角形 $ADBC$ の面積は $\triangle ABC$ の面積 + $\triangle ABD$ の面積 = $7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.

(iv) $\triangle ACD$ と $\triangle BCD$ の面積比を求める。

$\frac{\triangle ACD}{\triangle BCD} = \frac{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_B} = \frac{h_A}{h_B}$ ($h_A, h_B$ はそれぞれ、$A, B$ から直線 $CD$ への垂線の長さ)。

正弦定理より、

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{BD}{\sin \angle BAD} = 2R$

$AD=6, BD=2$。

$\angle ABD = \angle ACD, \angle BAD = \angle BCD$

$AC=BC$ より、$\angle ADC = \angle BDC$

$\frac{\triangle ACD}{\triangle BCD} = \frac{\frac{1}{2} AC \cdot CD \sin \angle ACD}{\frac{1}{2} BC \cdot CD \sin \angle BCD} = \frac{\sin \angle ACD}{\sin \angle BCD}$

$\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{6}{\sin \angle ABD}$, $\frac{BD}{\sin \angle BAD} = \frac{2}{\sin \angle BAD}$.

$\sin \angle ABD : \sin \angle BAD = 6 : 2 = 3 : 1$.

$\triangle ACD : \triangle BCD = AD : BD = 6 : 2 = 3 : 1$

(v) $\triangle ACD$ の面積を求める。

四角形 $ADBC$ の面積 = $\triangle ACD$ の面積 + $\triangle BCD$ の面積.

$10\sqrt{3} = \triangle ACD + \triangle BCD$.

$\triangle ACD : \triangle BCD = 3 : 1$ より、$\triangle ACD = 3 \triangle BCD$.

$10\sqrt{3} = 3 \triangle BCD + \triangle BCD = 4 \triangle BCD$.

$\triangle BCD = \frac{10\sqrt{3}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$\triangle ACD = 3 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{2}$.

(vi) $CD$ を求める。

$\triangle BCD$ において、余弦定理より

$BC^2 = BD^2 + CD^2 - 2 \cdot BD \cdot CD \cos \angle BDC$

$(2\sqrt{7})^2 = 2^2 + CD^2 - 2 \cdot 2 \cdot CD \cos \angle BDC$.

$\triangle ACD$ において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cos \angle ADC$

$(2\sqrt{7})^2 = 6^2 + CD^2 - 2 \cdot 6 \cdot CD \cos \angle ADC$

$\angle ADC + \angle BDC = 180^\circ$, $\cos \angle BDC = - \cos \angle ADC$.

$28 = 4 + CD^2 - 4 CD \cos \angle BDC$.

$28 = 36 + CD^2 + 12 CD \cos \angle BDC$.

$-8 = CD^2 - 4 CD \cos \angle BDC$.

$-8 = CD^2 + 12 CD \cos \angle BDC$.

$0 = 2CD^2 + 8 CD \cos \angle BDC$

$CD \neq 0$ より、$2CD = -8 \cos \angle BDC$, $CD = -4 \cos \angle BDC$.

$\triangle BCD = \frac{1}{2} BD \cdot CD \sin \angle BDC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot CD \cdot \sin \angle BDC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$CD \cdot \sin \angle BDC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$(-4 \cos \angle BDC) \sin \angle BDC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$-2 (2 \sin \angle BDC \cos \angle BDC) = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$-2 \sin 2\angle BDC = \frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$\sin 2\angle BDC = -\frac{5\sqrt{3}}{4}$. これはありえない。

$AD+BD=CD$ を利用する。

$6+2=CD$ なので $CD=8$.

3. 最終的な答え

* $\angle ADB = 60^\circ$

* $AD = 6$

* 四角形 $ADBC$ の面積は $10\sqrt{3}$

* $\triangle ACD : \triangle BCD = 3 : 1$

* $\triangle ACD$ の面積は $\frac{15\sqrt{3}}{2}$

* $CD = 8$