問題は、三角形ABCにおいて、与えられた条件のもとで、線分の比や面積比、さらには円周角の定理などを利用して、様々な値を求めるものです。 (1) では、AD:DB = 3:4, AE:EC = 4:1 のとき、CF/BC, EF/DE を求めます。 (2) では、AG:GF=1:2, 点Fは辺BCを7:2に外分するとき、S(△ABC) = S, S(△AEF)= T として、T/S を求めます。 (3) では、AD:AE=3:4, BD:CE=2:1 のとき、BF/CF を求め、さらに、4点B,D,C,Fが一円周上にあるとき、AB/AC を求めます。

1. 問題の内容

問題は、三角形ABCにおいて、与えられた条件のもとで、線分の比や面積比、さらには円周角の定理などを利用して、様々な値を求めるものです。

(1) では、AD:DB = 3:4, AE:EC = 4:1 のとき、CF/BC, EF/DE を求めます。

(2) では、AG:GF=1:2, 点Fは辺BCを7:2に外分するとき、S(△ABC) = S, S(△AEF)= T として、T/S を求めます。

(3) では、AD:AE=3:4, BD:CE=2:1 のとき、BF/CF を求め、さらに、4点B,D,C,Fが一円周上にあるとき、AB/AC を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* メネラウスの定理を△ABCと直線DFに適用します。

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{BF}{FC} = \frac{16}{3}$

* $\frac{BF}{FC} = \frac{BC+CF}{FC} = \frac{BC}{FC} + 1 = \frac{16}{3}$ より、

$\frac{BC}{FC} = \frac{13}{3}$

よって、$\frac{CF}{BC} = \frac{3}{13}$

* 次に、$\frac{EF}{DE}$ を求めます。

△ADEと直線BCFにメネラウスの定理を用いると

$\frac{AE}{EC}\cdot \frac{CF}{FB} \cdot \frac{BD}{DA} = 1$

$\frac{4}{1} \cdot \frac{3}{16} \cdot \frac{4}{3} = 1$

これは恒等式なので、$\frac{EF}{DE}$ を求めるためにパップスの定理を使います

$\frac{AD}{AB} = \frac{3}{7}, \frac{AE}{AC} = \frac{4}{5}$

$\frac{AD}{AB} + \frac{AE}{AC} = \frac{3}{7} + \frac{4}{5} = \frac{15 + 28}{35} = \frac{43}{35}$

$\frac{DE}{BC} = \frac{\sqrt{AD \cdot AE}}{\sqrt{AB \cdot AC}} = \frac{\sqrt{\frac{3}{7} \cdot \frac{4}{5}} \sqrt{AB \cdot AC}}{\sqrt{AB \cdot AC}} = \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{35}}$

△ABCと△ADEで考えると

$\frac{EF}{DE} = \frac{AE}{AC} = \frac{4}{5}$

(3)

* メネラウスの定理を△ACEと直線BFDに適用します。

$\frac{AD}{DE} \cdot \frac{EB}{BC} \cdot \frac{CF}{FA} = 1$

与えられた条件より、AD/AE = 3/4, BD/CE = 2/1

チェバの定理より、

$\frac{AD}{DB} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1$

$\frac{3}{2+1} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{1}{4/3} = 1$

$\frac{3}{3} \cdot \frac{BF}{FC} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BF}{FC} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

(1) CF/BC = 3/13, EF/DE = 4/5

(3) BF/CF = 4/3