右の図において、以下の線分の長さの比を求める問題です。 (1) BR:RC (2) BC:CS (3) AO:OR

1. 問題の内容

右の図において、以下の線分の長さの比を求める問題です。

(1) BR:RC

(2) BC:CS

(3) AO:OR

2. 解き方の手順

(1) BR:RCについて

メネラウスの定理を三角形BCSと直線ARに適用すると、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QS} \cdot \frac{SA}{AB} = 1$

三角形ABSと直線PCにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RS} \cdot \frac{SC}{CA} = 1$

図から $AP=2$, $PB=4$, $AQ=6$, $QC=3$である。

三角形ABCと直線PRにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{3}{6} = 1$

$\frac{BR}{RC} = \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{3} = 4$

よって、BR:RC = 4:1

(2) BC:CSについて

三角形BCSと直線AQにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{BA}{AS} \cdot \frac{SO}{OC} \cdot \frac{CQ}{QB} = 1$

$\frac{BC}{CS}$を求めたい。

三角形ABCと直線PSにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CS}{SA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot 4 \cdot \frac{CS}{SA} = 1$

$\frac{CS}{SA} = \frac{1}{2}$

よって、AS = 2CS

BC = BR + RC = 4RC + RC = 5RC

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RS} \cdot \frac{SC}{CA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{4RC}{4RC+CS} \cdot \frac{CS}{9} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4RC}{4RC+CS} \cdot \frac{CS}{9} = 1$

$\frac{4 RC \cdot CS}{2(4RC+CS)9} = 1$

$4RC \cdot CS = 18 (4RC+CS)$

$4RC \cdot CS = 72RC + 18CS$

$4RC \cdot CS - 18CS = 72RC$

$CS (4RC - 18) = 72RC$

$CS = \frac{72RC}{4RC - 18}$

$\frac{BC}{CS} = \frac{5RC}{\frac{72RC}{4RC - 18}} = \frac{5RC (4RC - 18)}{72RC} = \frac{5(4RC - 18)}{72} = \frac{20RC - 90}{72} = \frac{10RC - 45}{36}$

(3) AO:ORについて

三角形ABRと直線PCにメネラウスの定理を適用すると、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{RC}{CA} = 1$

$\frac{2}{4} \cdot \frac{BO}{OR} \cdot \frac{1}{9} = 1$

$\frac{BO}{OR} = \frac{4 \cdot 9}{2} = 18$

BO = 18OR

$\frac{AO}{OR} = \frac{27}{5}$

3. 最終的な答え

(1) BR:RC = 4:1

(2) 計算がうまくいきません。

(3) BO:OR = 18