(1) $\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\cos\theta = \frac{7}{25}$ であるとき、$\frac{\theta}{2}$ が第何象限にあるか、$\sin\frac{\theta}{2}$、$\cos\frac{\theta}{2}$、$\tan\frac{\theta}{2}$ の値を求めよ。 (2) $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$ であるとき、$\cos\theta$、$\tan\theta$、$\tan2\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\pi < \theta < 2\pi$ かつ $\cos\theta = \frac{7}{25}$ であるとき、$\frac{\theta}{2}$ が第何象限にあるか、$\sin\frac{\theta}{2}$、$\cos\frac{\theta}{2}$、$\tan\frac{\theta}{2}$ の値を求めよ。

(2) $\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$ であるとき、$\cos\theta$、$\tan\theta$、$\tan2\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\theta$ の範囲が $\pi < \theta < 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{2} < \frac{\theta}{2} < \pi$ となる。したがって、$\frac{\theta}{2}$ は第2象限の角である。

半角の公式を用いて、$\sin\frac{\theta}{2}$、$\cos\frac{\theta}{2}$、$\tan\frac{\theta}{2}$ の値を求める。

$\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}}$

$\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1+\cos\theta} = \frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$

$\cos\theta = \frac{7}{25}$ であるから、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$

$\pi < \theta < 2\pi$ より、$\sin\theta < 0$ なので、$\sin\theta = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25}$

$\sin\frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{7}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{18}{25}}{2}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

$\cos\frac{\theta}{2} = -\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{2}} = -\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{32}{25}}{2}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

(2)

$\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2}$ であるから、$\cos\theta = \frac{1 - \tan^2\frac{\theta}{2}}{1 + \tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1 - \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{3}{5}$

$\tan\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}} = \frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$

$\tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta} = \frac{2\cdot\frac{4}{3}}{1-\left(\frac{4}{3}\right)^2} = \frac{\frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} = \frac{\frac{8}{3}}{-\frac{7}{9}} = \frac{8}{3} \cdot \left(-\frac{9}{7}\right) = -\frac{24}{7}$

3. 最終的な答え

(1) ア：2

イ：3

ウ：5

エオ：-4

カ：5

キク：-3

ケ：4

(2) コ：3

サ：5

シ：4

ス：3

セソタ：-24

チ：7