ベクトル $\vec{a} = (0, -1, 2)$ と $\vec{b} = (1, 3, -3)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{14}$ となるベクトル $\vec{c}$ の成分を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (0, -1, 2)$ と $\vec{b} = (1, 3, -3)$ が与えられたとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直で、大きさが $\sqrt{14}$ となるベクトル $\vec{c}$ の成分を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ に垂直なベクトルを求めるために、外積を計算する。

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\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

0 & -1 & 2 \\

1 & 3 & -3

\end{vmatrix} = (3-6)\vec{i} - (0-2)\vec{j} + (0-(-1))\vec{k} = -3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k} = (-3, 2, 1)

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よって、ベクトル $\vec{n} = (-3, 2, 1)$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直である。

次に、$\vec{n}$ の大きさを計算する。

$$|\vec{n}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$$

$\vec{c}$ は大きさが $\sqrt{14}$ であり、$\vec{n}$ の大きさも $\sqrt{14}$ なので、$\vec{c}$ は $\vec{n}$ と同じ向きか、または反対向きになる。したがって、$\vec{c} = \pm \vec{n}$ である。

よって、$\vec{c} = (-3, 2, 1)$ または $\vec{c} = (3, -2, -1)$ となる。

3. 最終的な答え

$\vec{c} = (3, -2, -1)$ または $\vec{c} = (-3, 2, 1)$

選択肢5が正しそうです。複合同順と書かれているので, (3, -2, -1)と(-3, 2, 1)の両方が答えに含まれていると解釈できます。