$sin\theta cos\theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$)のとき、 (1) $sin\theta + cos\theta$ の値を求めよ。 (2) $cos\theta - sin\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$sin\theta cos\theta = -\frac{1}{2}$ ($0^\circ < \theta < 180^\circ$)のとき、

(1) $sin\theta + cos\theta$ の値を求めよ。

(2) $cos\theta - sin\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $sin\theta + cos\theta$ の値を求める。

$(sin\theta + cos\theta)^2 = sin^2\theta + 2sin\theta cos\theta + cos^2\theta$

$= 1 + 2sin\theta cos\theta$

与えられた条件 $sin\theta cos\theta = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$(sin\theta + cos\theta)^2 = 1 + 2(-\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0$

よって、$sin\theta + cos\theta = 0$

(2) $cos\theta - sin\theta$ の値を求める。

$(cos\theta - sin\theta)^2 = cos^2\theta - 2sin\theta cos\theta + sin^2\theta$

$= 1 - 2sin\theta cos\theta$

与えられた条件 $sin\theta cos\theta = -\frac{1}{2}$ を代入すると、

$(cos\theta - sin\theta)^2 = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$

よって、$cos\theta - sin\theta = \pm \sqrt{2}$

条件 $0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\theta$ は第一象限または第二象限の角である。

$sin\theta + cos\theta = 0$ より、$cos\theta = -sin\theta$ である。

$sin\theta > 0$ より、$cos\theta < 0$。したがって、$\theta$ は第二象限の角である。

$cos\theta < 0$ かつ $sin\theta > 0$ より、$cos\theta - sin\theta < 0$。

したがって、$cos\theta - sin\theta = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $sin\theta + cos\theta = 0$

(2) $cos\theta - sin\theta = -\sqrt{2}$